Riješi 3x^2-2x-1=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Riješite za x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=1$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 3x^{2}+ax+bx-1. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-2 ab=3\left(-1\right)=-3$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Jedini takav par je rješenje sistema.

$$a=-3 b=1$$

Ponovo napišite 3x^{2}-2x-1 kao \left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right)$$

Izdvojite 3x iz 3x^{2}-3x.

$$3x\left(x-1\right)+x-1$$

Izdvojite obični izraz x-1 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-1\right)\left(3x+1\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-1=0 i 3x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 3 i a, -2 i b, kao i -1 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadrat od -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12}}{2\times 3}$$

Saberite 4 i 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4}{2\times 3}$$

Opozit broja -2 je 2.

$$x=\frac{2±4}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$x=\frac{2±4}{6}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{2±4}{6} kada je ± plus. Saberite 2 i 4.

$$x=\frac{6}{6}$$

Podijelite 6 sa 6.

$$x=1$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{2±4}{6} kada je ± minus. Oduzmite 4 od 2.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Svedite razlomak \frac{-2}{6} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

Dodajte 1 na obje strane jednačine.

$$3x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Oduzimanjem -1 od samog sebe ostaje 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Oduzmite -1 od 0.

$$3x^{2}-2x=1$$

Podijelite obje strane s 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{1}{3}$$

Dijelјenje sa 3 poništava množenje sa 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

Podijelite -\frac{2}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{1}{3}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{1}{3} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{1}{3} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Saberite \frac{1}{3} i \frac{1}{9} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

Dodajte \frac{1}{3} na obje strane jednačine.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$