Riješi 3x^2+2x+1=0

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Riješite za x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0,333333333+0,471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0,333333333-0,471404521i$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 3 i a, 2 i b, kao i 1 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadrat od 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2\times 3}$$

Saberite 4 i -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od -8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} kada je ± plus. Saberite -2 i 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{6}$$

Podijelite -2+2i\sqrt{2} sa 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} kada je ± minus. Oduzmite 2i\sqrt{2} od -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{6}$$

Podijelite -2-2i\sqrt{2} sa 6.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Oduzmite 1 s obje strane jednačine.

$$3x^{2}+2x+1-1=-1$$

Oduzimanjem 1 od samog sebe ostaje 0.

$$3x^{2}+2x=-1$$

Podijelite obje strane s 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Dijelјenje sa 3 poništava množenje sa 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Podijelite \frac{2}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{1}{3}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{1}{3} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{1}{3} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Saberite -\frac{1}{3} i \frac{1}{9} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

Oduzmite \frac{1}{3} s obje strane jednačine.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$