Riješi 3x^2+16x-35=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 35 = 0$$

Riješite za x

$$x=-7$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 3x^{2}+ax+bx-35. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=16 ab=3\left(-35\right)=-105$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -105.

$$-1,105 -3,35 -5,21 -7,15$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+105=104 -3+35=32 -5+21=16 -7+15=8$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 16.

$$a=-5 b=21$$

Ponovo napišite 3x^{2}+16x-35 kao \left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right).

$$\left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right)$$

Isključite x u prvoj i 7 drugoj grupi.

$$x\left(3x-5\right)+7\left(3x-5\right)$$

Izdvojite obični izraz 3x-5 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(3x-5\right)\left(x+7\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 3x-5=0 i x+7=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 3 i a, 16 i b, kao i -35 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadrat od 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i -35.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+420}}{2\times 3}$$

Saberite 256 i 420.

$$x=\frac{-16±\sqrt{676}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 676.

$$x=\frac{-16±26}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$x=\frac{-16±26}{6}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-16±26}{6} kada je ± plus. Saberite -16 i 26.

$$x=\frac{10}{6}$$

Svedite razlomak \frac{10}{6} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=\frac{5}{3}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-16±26}{6} kada je ± minus. Oduzmite 26 od -16.

$$x=-\frac{42}{6}$$

Podijelite -42 sa 6.

$$x=-7$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Dodajte 35 na obje strane jednačine.

$$3x^{2}+16x-35-\left(-35\right)=-\left(-35\right)$$

Oduzimanjem -35 od samog sebe ostaje 0.

$$3x^{2}+16x=-\left(-35\right)$$

Oduzmite -35 od 0.

$$3x^{2}+16x=35$$

Podijelite obje strane s 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{35}{3}$$

Dijelјenje sa 3 poništava množenje sa 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{35}{3}$$

Podijelite \frac{16}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{8}{3}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{8}{3} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{35}{3}+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{8}{3} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{35}{3}+\frac{64}{9}$$

Saberite \frac{35}{3} i \frac{64}{9} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{169}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{13}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{13}{3}$$

Oduzmite \frac{8}{3} s obje strane jednačine.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$