Riješi 3x+y=5text{and}y-x=1

$$3 x + y = 5 \text { and } y - x = 1$$

Riješite za x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Koraci pomoću zamjene

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$3x+y=5,-x+y=1$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za x tako što ćete izdvojiti x na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$3x+y=5$$

Oduzmite y s obje strane jednačine.

$$3x=-y+5$$

Podijelite obje strane s 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

Pomnožite \frac{1}{3} i -y+5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Zamijenite \frac{-y+5}{3} za x u drugoj jednačini, -x+y=1.

$$-\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+y=1$$

Pomnožite -1 i \frac{-y+5}{3}.

$$\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}+y=1$$

Saberite \frac{y}{3} i y.

$$\frac{4}{3}y-\frac{5}{3}=1$$

Dodajte \frac{5}{3} na obje strane jednačine.

$$\frac{4}{3}y=\frac{8}{3}$$

Podijelite obje strane jednačine sa \frac{4}{3}, što je isto kao množenje obje strane recipročnom vrijednošću razlomka.

$$y=2$$

Zamijenite 2 za y u x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=-\frac{1}{3}\times 2+\frac{5}{3}$$

Pomnožite -\frac{1}{3} i 2.

$$x=\frac{-2+5}{3}$$

Saberite \frac{5}{3} i -\frac{2}{3} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x=1$$

Sistem je riješen.

$$x=1,y=2$$

Koraci pomoću matrica

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$3x+y=5,-x+y=1$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}3&1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=1,y=2$$

Koraci pomoću eliminacije

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$3x+y=5,-x+y=1$$

Oduzmite -x+y=1 od 3x+y=5 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$3x+x+y-y=5-1$$

Saberite y i -y. Izrazi y i -y se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$3x+x=5-1$$

Saberite 3x i x.

$$4x=5-1$$

Saberite 5 i -1.

$$4x=4$$

Podijelite obje strane s 4.

$$x=1$$

Zamijenite 1 za x u -x+y=1. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za y.

$$-1+y=1$$

Dodajte 1 na obje strane jednačine.

$$y=2$$

Sistem je riješen.

$$x=1,y=2$$