Riješi 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Riješite za x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Koraci pomoću zamjene

Pojednostavite prvu jednačinu. Oduzmite 6y s obje strane.

$$3x+9-6y=0$$

Oduzmite 9 s obje strane. Bilo šta oduzeto od nule daje svoju negaciju.

$$3x-6y=-9$$

Pojednostavite drugu jednačinu. Dodajte 12 na obje strane. Bilo šta plus nula daje sebe.

$$-2x-2y=12$$

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za x tako što ćete izdvojiti x na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$3x-6y=-9$$

Dodajte 6y na obje strane jednačine.

$$3x=6y-9$$

Podijelite obje strane s 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Pomnožite \frac{1}{3} i 6y-9.

$$x=2y-3$$

Zamijenite 2y-3 za x u drugoj jednačini, -2x-2y=12.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Pomnožite -2 i 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Saberite -4y i -2y.

$$-6y+6=12$$

Oduzmite 6 s obje strane jednačine.

$$-6y=6$$

Podijelite obje strane s -6.

$$y=-1$$

Zamijenite -1 za y u x=2y-3. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Pomnožite 2 i -1.

$$x=-2-3$$

Saberite -3 i -2.

$$x=-5$$

Sistem je riješen.

$$x=-5,y=-1$$

Koraci pomoću matrica

Pojednostavite prvu jednačinu. Oduzmite 6y s obje strane.

$$3x+9-6y=0$$

Oduzmite 9 s obje strane. Bilo šta oduzeto od nule daje svoju negaciju.

$$3x-6y=-9$$

Pojednostavite drugu jednačinu. Dodajte 12 na obje strane. Bilo šta plus nula daje sebe.

$$-2x-2y=12$$

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=-5,y=-1$$

Koraci pomoću eliminacije

Pojednostavite prvu jednačinu. Oduzmite 6y s obje strane.

$$3x+9-6y=0$$

Oduzmite 9 s obje strane. Bilo šta oduzeto od nule daje svoju negaciju.

$$3x-6y=-9$$

Pojednostavite drugu jednačinu. Dodajte 12 na obje strane. Bilo šta plus nula daje sebe.

$$-2x-2y=12$$

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Da bi 3x i -2x bili jednaki, pomnožite sve termine na svakoj strani prve jednačine sa -2 i sve termine na svakoj strani druge jednačine sa 3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Pojednostavite.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Oduzmite -6x-6y=36 od -6x+12y=18 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Saberite -6x i 6x. Izrazi -6x i 6x se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$12y+6y=18-36$$

Saberite 12y i 6y.

$$18y=18-36$$

Saberite 18 i -36.

$$18y=-18$$

Podijelite obje strane s 18.

$$y=-1$$

Zamijenite -1 za y u -2x-2y=12. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Pomnožite -2 i -1.

$$-2x+2=12$$

Oduzmite 2 s obje strane jednačine.

$$-2x=10$$

Podijelite obje strane s -2.

$$x=-5$$

Sistem je riješen.

$$x=-5,y=-1$$