Riješi 3x+5y=8text{and}x-2y=-1

$$3 x + 5 y = 8 \text { and } x - 2 y = - 1$$

Riješite za x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Koraci pomoću zamjene

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za x tako što ćete izdvojiti x na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$3x+5y=8$$

Oduzmite 5y s obje strane jednačine.

$$3x=-5y+8$$

Podijelite obje strane s 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+8\right)$$

Pomnožite \frac{1}{3} i -5y+8.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}$$

Zamijenite \frac{-5y+8}{3} za x u drugoj jednačini, x-2y=-1.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}-2y=-1$$

Saberite -\frac{5y}{3} i -2y.

$$-\frac{11}{3}y+\frac{8}{3}=-1$$

Oduzmite \frac{8}{3} s obje strane jednačine.

$$-\frac{11}{3}y=-\frac{11}{3}$$

Podijelite obje strane jednačine sa -\frac{11}{3}, što je isto kao množenje obje strane recipročnom vrijednošću razlomka.

$$y=1$$

Zamijenite 1 za y u x=-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=\frac{-5+8}{3}$$

Saberite \frac{8}{3} i -\frac{5}{3} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x=1$$

Sistem je riješen.

$$x=1,y=1$$

Koraci pomoću matrica

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-5}&-\frac{5}{3\left(-2\right)-5}\\-\frac{1}{3\left(-2\right)-5}&\frac{3}{3\left(-2\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{5}{11}\left(-1\right)\\\frac{1}{11}\times 8-\frac{3}{11}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=1,y=1$$

Koraci pomoću eliminacije

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Da bi 3x i x bili jednaki, pomnožite sve termine na svakoj strani prve jednačine sa 1 i sve termine na svakoj strani druge jednačine sa 3.

$$3x+5y=8,3x+3\left(-2\right)y=3\left(-1\right)$$

Pojednostavite.

$$3x+5y=8,3x-6y=-3$$

Oduzmite 3x-6y=-3 od 3x+5y=8 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$3x-3x+5y+6y=8+3$$

Saberite 3x i -3x. Izrazi 3x i -3x se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$5y+6y=8+3$$

Saberite 5y i 6y.

$$11y=8+3$$

Saberite 8 i 3.

$$11y=11$$

Podijelite obje strane s 11.

$$y=1$$

Zamijenite 1 za y u x-2y=-1. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x-2=-1$$

Dodajte 2 na obje strane jednačine.

$$x=1$$

Sistem je riješen.

$$x=1,y=1$$