Riješi 3x+2y=8text{and}5x-4y=6

$$3 x + 2 y = 8 \text { and } 5 x - 4 y = 6$$

Riješite za x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Koraci pomoću zamjene

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za x tako što ćete izdvojiti x na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$3x+2y=8$$

Oduzmite 2y s obje strane jednačine.

$$3x=-2y+8$$

Podijelite obje strane s 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+8\right)$$

Pomnožite \frac{1}{3} i -2y+8.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

Zamijenite \frac{-2y+8}{3} za x u drugoj jednačini, 5x-4y=6.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)-4y=6$$

Pomnožite 5 i \frac{-2y+8}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}-4y=6$$

Saberite -\frac{10y}{3} i -4y.

$$-\frac{22}{3}y+\frac{40}{3}=6$$

Oduzmite \frac{40}{3} s obje strane jednačine.

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{22}{3}$$

Podijelite obje strane jednačine sa -\frac{22}{3}, što je isto kao množenje obje strane recipročnom vrijednošću razlomka.

$$y=1$$

Zamijenite 1 za y u x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=\frac{-2+8}{3}$$

Saberite \frac{8}{3} i -\frac{2}{3} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x=2$$

Sistem je riješen.

$$x=2,y=1$$

Koraci pomoću matrica

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{1}{11}\times 6\\\frac{5}{22}\times 8-\frac{3}{22}\times 6\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=2,y=1$$

Koraci pomoću eliminacije

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Da bi 3x i 5x bili jednaki, pomnožite sve termine na svakoj strani prve jednačine sa 5 i sve termine na svakoj strani druge jednačine sa 3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 8,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 6$$

Pojednostavite.

$$15x+10y=40,15x-12y=18$$

Oduzmite 15x-12y=18 od 15x+10y=40 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$15x-15x+10y+12y=40-18$$

Saberite 15x i -15x. Izrazi 15x i -15x se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$10y+12y=40-18$$

Saberite 10y i 12y.

$$22y=40-18$$

Saberite 40 i -18.

$$22y=22$$

Podijelite obje strane s 22.

$$y=1$$

Zamijenite 1 za y u 5x-4y=6. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$5x-4=6$$

Dodajte 4 na obje strane jednačine.

$$5x=10$$

Podijelite obje strane s 5.

$$x=2$$

Sistem je riješen.

$$x=2,y=1$$