Riješi 3r^2-24r=-45

$$3 r ^ { 2 } - 24 r = - 45$$

Riješite za r

$$r=3$$

$$r=5$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Dodajte 45 na obje strane.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Podijelite obje strane s 3.

$$r^{2}-8r+15=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao r^{2}+ar+br+15. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -8.

$$a=-5 b=-3$$

Ponovo napišite r^{2}-8r+15 kao \left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right).

$$\left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right)$$

Isključite r u prvoj i -3 drugoj grupi.

$$r\left(r-5\right)-3\left(r-5\right)$$

Izdvojite obični izraz r-5 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(r-5\right)\left(r-3\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite r-5=0 i r-3=0.

$$r=5 r=3$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Dodajte 45 na obje strane jednačine.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=-45-\left(-45\right)$$

Oduzimanjem -45 od samog sebe ostaje 0.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=0$$

Oduzmite -45 od 0.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 3 i a, -24 i b, kao i 45 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadrat od -24.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-12\times 45}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i 45.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-540}}{2\times 3}$$

Saberite 576 i -540.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{36}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 36.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±6}{2\times 3}$$

Opozit broja -24 je 24.

$$r=\frac{24±6}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$r=\frac{24±6}{6}$$

Sada riješite jednačinu r=\frac{24±6}{6} kada je ± plus. Saberite 24 i 6.

$$r=\frac{30}{6}$$

Podijelite 30 sa 6.

$$r=5$$

Sada riješite jednačinu r=\frac{24±6}{6} kada je ± minus. Oduzmite 6 od 24.

$$r=\frac{18}{6}$$

Podijelite 18 sa 6.

$$r=3$$

Jednačina je riješena.

$$r=5 r=3$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Podijelite obje strane s 3.

$$\frac{3r^{2}-24r}{3}=-\frac{45}{3}$$

Dijelјenje sa 3 poništava množenje sa 3.

$$r^{2}+\left(-\frac{24}{3}\right)r=-\frac{45}{3}$$

Podijelite -24 sa 3.

$$r^{2}-8r=-\frac{45}{3}$$

Podijelite -45 sa 3.

$$r^{2}-8r=-15$$

Podijelite -8, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -4. Zatim dodajte kvadrat od -4 na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$r^{2}-8r+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -4.

$$r^{2}-8r+16=-15+16$$

Saberite -15 i 16.

$$r^{2}-8r+16=1$$

Faktor r^{2}-8r+16. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-4\right)^{2}=1$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(r-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Pojednostavite.

$$r-4=1 r-4=-1$$

Dodajte 4 na obje strane jednačine.

$$r=5 r=3$$