Riješi 3q^2-19q+16=0

$$3 q ^ { 2 } - 19 q + 16 = 0$$

Riješite za q

$$q=1$$

$$q = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5,333333333$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 3q^{2}+aq+bq+16. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-19 ab=3\times 16=48$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -19.

$$a=-16 b=-3$$

Ponovo napišite 3q^{2}-19q+16 kao \left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right).

$$\left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right)$$

Isključite q u prvoj i -1 drugoj grupi.

$$q\left(3q-16\right)-\left(3q-16\right)$$

Izdvojite obični izraz 3q-16 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(3q-16\right)\left(q-1\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 3q-16=0 i q-1=0.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 3 i a, -19 i b, kao i 16 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadrat od -19.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-12\times 16}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i 16.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-192}}{2\times 3}$$

Saberite 361 i -192.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 169.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±13}{2\times 3}$$

Opozit broja -19 je 19.

$$q=\frac{19±13}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$q=\frac{19±13}{6}$$

Sada riješite jednačinu q=\frac{19±13}{6} kada je ± plus. Saberite 19 i 13.

$$q=\frac{32}{6}$$

Svedite razlomak \frac{32}{6} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$q=\frac{16}{3}$$

Sada riješite jednačinu q=\frac{19±13}{6} kada je ± minus. Oduzmite 13 od 19.

$$q=\frac{6}{6}$$

Podijelite 6 sa 6.

$$q=1$$

Jednačina je riješena.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Oduzmite 16 s obje strane jednačine.

$$3q^{2}-19q+16-16=-16$$

Oduzimanjem 16 od samog sebe ostaje 0.

$$3q^{2}-19q=-16$$

Podijelite obje strane s 3.

$$\frac{3q^{2}-19q}{3}=-\frac{16}{3}$$

Dijelјenje sa 3 poništava množenje sa 3.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q=-\frac{16}{3}$$

Podijelite -\frac{19}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{19}{6}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{19}{6} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{19}{6} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=-\frac{16}{3}+\frac{361}{36}$$

Saberite -\frac{16}{3} i \frac{361}{36} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=\frac{169}{36}$$

Faktorirajte q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}. Uopćeno govoreći, kada je x^{2}+bx+c savršeni kvadrat, on se uvijek može faktorirati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Pojednostavite.

$$q-\frac{19}{6}=\frac{13}{6} q-\frac{19}{6}=-\frac{13}{6}$$

Dodajte \frac{19}{6} na obje strane jednačine.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$