Riješi 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

Riješite za n

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$n=3$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 3n^{2}+an+bn-15. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -45.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -4.

$$a=-9 b=5$$

Ponovo napišite 3n^{2}-4n-15 kao \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right).

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

Isključite 3n u prvoj i 5 drugoj grupi.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

Izdvojite obični izraz n-3 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite n-3=0 i 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 3 i a, -4 i b, kao i -15 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadrat od -4.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Saberite 16 i 180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 196.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

Opozit broja -4 je 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Sada riješite jednačinu n=\frac{4±14}{6} kada je ± plus. Saberite 4 i 14.

$$n=\frac{18}{6}$$

Podijelite 18 sa 6.

$$n=3$$

Sada riješite jednačinu n=\frac{4±14}{6} kada je ± minus. Oduzmite 14 od 4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

Svedite razlomak \frac{-10}{6} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$n=-\frac{5}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Dodajte 15 na obje strane jednačine.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Oduzimanjem -15 od samog sebe ostaje 0.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

Oduzmite -15 od 0.

$$3n^{2}-4n=15$$

Podijelite obje strane s 3.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

Dijelјenje sa 3 poništava množenje sa 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

Podijelite 15 sa 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

Podijelite -\frac{4}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{2}{3}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{2}{3} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{2}{3} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Saberite 5 i \frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktor n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Pojednostavite.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Dodajte \frac{2}{3} na obje strane jednačine.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$