Riješi 3n^2+10n=8

$$3 n ^ { 2 } + 10 n = 8$$

Riješite za n

$$n=-4$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Oduzmite 8 s obje strane.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 3n^{2}+an+bn-8. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 10.

$$a=-2 b=12$$

Ponovo napišite 3n^{2}+10n-8 kao \left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right).

$$\left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)$$

Isključite n u prvoj i 4 drugoj grupi.

$$n\left(3n-2\right)+4\left(3n-2\right)$$

Izdvojite obični izraz 3n-2 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(3n-2\right)\left(n+4\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 3n-2=0 i n+4=0.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$3n^{2}+10n=8$$

Oduzmite 8 s obje strane jednačine.

$$3n^{2}+10n-8=8-8$$

Oduzimanjem 8 od samog sebe ostaje 0.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 3 i a, 10 i b, kao i -8 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadrat od 10.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i -8.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Saberite 100 i 96.

$$n=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 196.

$$n=\frac{-10±14}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$n=\frac{-10±14}{6}$$

Sada riješite jednačinu n=\frac{-10±14}{6} kada je ± plus. Saberite -10 i 14.

$$n=\frac{4}{6}$$

Svedite razlomak \frac{4}{6} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$n=\frac{2}{3}$$

Sada riješite jednačinu n=\frac{-10±14}{6} kada je ± minus. Oduzmite 14 od -10.

$$n=-\frac{24}{6}$$

Podijelite -24 sa 6.

$$n=-4$$

Jednačina je riješena.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+10n=8$$

Podijelite obje strane s 3.

$$\frac{3n^{2}+10n}{3}=\frac{8}{3}$$

Dijelјenje sa 3 poništava množenje sa 3.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n=\frac{8}{3}$$

Podijelite \frac{10}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{5}{3}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{5}{3} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{5}{3} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Saberite \frac{8}{3} i \frac{25}{9} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktor n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Pojednostavite.

$$n+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} n+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Oduzmite \frac{5}{3} s obje strane jednačine.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$