Riješi 3x^2-5x-372=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-372=0$$

Riješite za x

$$x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3} \approx -10,333333333$$

$$x=12$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 3x^{2}+ax+bx-372. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-5 ab=3\left(-372\right)=-1116$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -1116.

$$1,-1116 2,-558 3,-372 4,-279 6,-186 9,-124 12,-93 18,-62 31,-36$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-1116=-1115 2-558=-556 3-372=-369 4-279=-275 6-186=-180 9-124=-115 12-93=-81 18-62=-44 31-36=-5$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -5.

$$a=-36 b=31$$

Ponovo napišite 3x^{2}-5x-372 kao \left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right)$$

Isključite 3x u prvoj i 31 drugoj grupi.

$$3x\left(x-12\right)+31\left(x-12\right)$$

Izdvojite obični izraz x-12 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-12\right)\left(3x+31\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-12=0 i 3x+31=0.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 3 i a, -5 i b, kao i -372 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadrat od -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i -372.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4464}}{2\times 3}$$

Saberite 25 i 4464.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 4489.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±67}{2\times 3}$$

Opozit broja -5 je 5.

$$x=\frac{5±67}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$x=\frac{5±67}{6}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{5±67}{6} kada je ± plus. Saberite 5 i 67.

$$x=\frac{72}{6}$$

Podijelite 72 sa 6.

$$x=12$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{5±67}{6} kada je ± minus. Oduzmite 67 od 5.

$$x=-\frac{62}{6}$$

Svedite razlomak \frac{-62}{6} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=-\frac{31}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Dodajte 372 na obje strane jednačine.

$$3x^{2}-5x-372-\left(-372\right)=-\left(-372\right)$$

Oduzimanjem -372 od samog sebe ostaje 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-372\right)$$

Oduzmite -372 od 0.

$$3x^{2}-5x=372$$

Podijelite obje strane s 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{372}{3}$$

Dijelјenje sa 3 poništava množenje sa 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{372}{3}$$

Podijelite 372 sa 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=124$$

Podijelite -\frac{5}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{5}{6}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{5}{6} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=124+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{5}{6} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=124+\frac{25}{36}$$

Saberite 124 i \frac{25}{36}.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4489}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{67}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{67}{6}$$

Dodajte \frac{5}{6} na obje strane jednačine.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$