Riješi 3x^2-4x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -4x-9=0$$

Riješite za x

$$x = \frac{\sqrt{31} + 2}{3} \approx 2,522588121$$

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}\approx -1,189254788$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 3 i a, -4 i b, kao i -9 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadrat od -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i -9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+108}}{2\times 3}$$

Saberite 16 i 108.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{124}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 124.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

Opozit broja -4 je 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6} kada je ± plus. Saberite 4 i 2\sqrt{31}.

$$x=\frac{2\sqrt{31}+4}{6}$$

Podijelite 4+2\sqrt{31} sa 6.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6} kada je ± minus. Oduzmite 2\sqrt{31} od 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{31}}{6}$$

Podijelite 4-2\sqrt{31} sa 6.

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

Dodajte 9 na obje strane jednačine.

$$3x^{2}-4x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Oduzimanjem -9 od samog sebe ostaje 0.

$$3x^{2}-4x=-\left(-9\right)$$

Oduzmite -9 od 0.

$$3x^{2}-4x=9$$

Podijelite obje strane s 3.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=\frac{9}{3}$$

Dijelјenje sa 3 poništava množenje sa 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{9}{3}$$

Podijelite 9 sa 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=3$$

Podijelite -\frac{4}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{2}{3}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{2}{3} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{2}{3} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=3+\frac{4}{9}$$

Saberite 3 i \frac{4}{9}.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{31}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{31}{9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{9}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{31}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{31}}{3}$$

Dodajte \frac{2}{3} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$