Riješi 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

Riješite za x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=12$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 3x^{2}+ax+bx-60. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -31.

$$a=-36 b=5$$

Ponovo napišite 3x^{2}-31x-60 kao \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

Isključite 3x u prvoj i 5 drugoj grupi.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Izdvojite obični izraz x-12 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-12=0 i 3x+5=0.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 3 i a, -31 i b, kao i -60 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadrat od -31.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

Saberite 961 i 720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 1681.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

Opozit broja -31 je 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{31±41}{6} kada je ± plus. Saberite 31 i 41.

$$x=\frac{72}{6}$$

Podijelite 72 sa 6.

$$x=12$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{31±41}{6} kada je ± minus. Oduzmite 41 od 31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

Svedite razlomak \frac{-10}{6} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Dodajte 60 na obje strane jednačine.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Oduzimanjem -60 od samog sebe ostaje 0.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

Oduzmite -60 od 0.

$$3x^{2}-31x=60$$

Podijelite obje strane s 3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

Dijelјenje sa 3 poništava množenje sa 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

Podijelite 60 sa 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

Podijelite -\frac{31}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{31}{6}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{31}{6} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{31}{6} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

Saberite 20 i \frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Dodajte \frac{31}{6} na obje strane jednačine.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$