Riješi 3x^2-2x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -2x-9 = 0$$

Riješite za x

$$x = \frac{2 \sqrt{7} + 1}{3} \approx 2,097167541$$

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}\approx -1,430500874$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 3 i a, -2 i b, kao i -9 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadrat od -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i -9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+108}}{2\times 3}$$

Saberite 4 i 108.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{112}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 112.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Opozit broja -2 je 2.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6} kada je ± plus. Saberite 2 i 4\sqrt{7}.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+2}{6}$$

Podijelite 2+4\sqrt{7} sa 6.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6} kada je ± minus. Oduzmite 4\sqrt{7} od 2.

$$x=\frac{2-4\sqrt{7}}{6}$$

Podijelite 2-4\sqrt{7} sa 6.

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

Dodajte 9 na obje strane jednačine.

$$3x^{2}-2x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Oduzimanjem -9 od samog sebe ostaje 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-9\right)$$

Oduzmite -9 od 0.

$$3x^{2}-2x=9$$

Podijelite obje strane s 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{9}{3}$$

Dijelјenje sa 3 poništava množenje sa 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{9}{3}$$

Podijelite 9 sa 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=3$$

Podijelite -\frac{2}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{1}{3}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{1}{3} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{1}{3} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=3+\frac{1}{9}$$

Saberite 3 i \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{28}{9}$$

Faktorirajte x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Uopćeno govoreći, kada je x^{2}+bx+c savršeni kvadrat, on se uvijek može faktorirati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{28}{9}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{7}}{3}$$

Dodajte \frac{1}{3} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$