Riješi 3x^2-13x=10

$$3 { x }^{ 2 } -13x=10$$

Riješite za x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=5$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Oduzmite 10 s obje strane.

$$3x^{2}-13x-10=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 3x^{2}+ax+bx-10. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-13 ab=3\left(-10\right)=-30$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -13.

$$a=-15 b=2$$

Ponovo napišite 3x^{2}-13x-10 kao \left(3x^{2}-15x\right)+\left(2x-10\right).

$$\left(3x^{2}-15x\right)+\left(2x-10\right)$$

Isključite 3x u prvoj i 2 drugoj grupi.

$$3x\left(x-5\right)+2\left(x-5\right)$$

Izdvojite obični izraz x-5 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-5=0 i 3x+2=0.

$$x=5 x=-\frac{2}{3}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$3x^{2}-13x=10$$

Oduzmite 10 s obje strane jednačine.

$$3x^{2}-13x-10=10-10$$

Oduzimanjem 10 od samog sebe ostaje 0.

$$3x^{2}-13x-10=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 3 i a, -13 i b, kao i -10 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 3\left(-10\right)}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadrat od -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 3\left(-10\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-12\left(-10\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i -10.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+120}}{2\times 3}$$

Saberite 169 i 120.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{289}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 289.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±17}{2\times 3}$$

Opozit broja -13 je 13.

$$x=\frac{13±17}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$x=\frac{13±17}{6}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{13±17}{6} kada je ± plus. Saberite 13 i 17.

$$x=\frac{30}{6}$$

Podijelite 30 sa 6.

$$x=5$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{13±17}{6} kada je ± minus. Oduzmite 17 od 13.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Svedite razlomak \frac{-4}{6} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$x=5 x=-\frac{2}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-13x=10$$

Podijelite obje strane s 3.

$$\frac{3x^{2}-13x}{3}=\frac{10}{3}$$

Dijelјenje sa 3 poništava množenje sa 3.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x=\frac{10}{3}$$

Podijelite -\frac{13}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{13}{6}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{13}{6} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x+\left(-\frac{13}{6}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(-\frac{13}{6}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{13}{6} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}=\frac{10}{3}+\frac{169}{36}$$

Saberite \frac{10}{3} i \frac{169}{36} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}=\frac{289}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{6}\right)^{2}=\frac{289}{36}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{36}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{13}{6}=\frac{17}{6} x-\frac{13}{6}=-\frac{17}{6}$$

Dodajte \frac{13}{6} na obje strane jednačine.

$$x=5 x=-\frac{2}{3}$$