Riješi 3x^2-10x-8=0

$$3 { x }^{ 2 } -10x-8=0$$

Riješite za x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=4$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 3x^{2}+ax+bx-8. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -10.

$$a=-12 b=2$$

Ponovo napišite 3x^{2}-10x-8 kao \left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right).

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right)$$

Isključite 3x u prvoj i 2 drugoj grupi.

$$3x\left(x-4\right)+2\left(x-4\right)$$

Izdvojite obični izraz x-4 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-4\right)\left(3x+2\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-4=0 i 3x+2=0.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 3 i a, -10 i b, kao i -8 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadrat od -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i -8.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Saberite 100 i 96.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 196.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±14}{2\times 3}$$

Opozit broja -10 je 10.

$$x=\frac{10±14}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$x=\frac{10±14}{6}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{10±14}{6} kada je ± plus. Saberite 10 i 14.

$$x=\frac{24}{6}$$

Podijelite 24 sa 6.

$$x=4$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{10±14}{6} kada je ± minus. Oduzmite 14 od 10.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Svedite razlomak \frac{-4}{6} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

Dodajte 8 na obje strane jednačine.

$$3x^{2}-10x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Oduzimanjem -8 od samog sebe ostaje 0.

$$3x^{2}-10x=-\left(-8\right)$$

Oduzmite -8 od 0.

$$3x^{2}-10x=8$$

Podijelite obje strane s 3.

$$\frac{3x^{2}-10x}{3}=\frac{8}{3}$$

Dijelјenje sa 3 poništava množenje sa 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{8}{3}$$

Podijelite -\frac{10}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{5}{3}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{5}{3} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{5}{3} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Saberite \frac{8}{3} i \frac{25}{9} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Dodajte \frac{5}{3} na obje strane jednačine.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$