Riješi 3x^2+5x=138

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

Riješite za x

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7,666666667$$

$$x=6$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Oduzmite 138 s obje strane.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 3x^{2}+ax+bx-138. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -414.

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 5.

$$a=-18 b=23$$

Ponovo napišite 3x^{2}+5x-138 kao \left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

Isključite 3x u prvoj i 23 drugoj grupi.

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

Izdvojite obični izraz x-6 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-6=0 i 3x+23=0.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$3x^{2}+5x=138$$

Oduzmite 138 s obje strane jednačine.

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

Oduzimanjem 138 od samog sebe ostaje 0.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 3 i a, 5 i b, kao i -138 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadrat od 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i -138.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

Saberite 25 i 1656.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 1681.

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-5±41}{6} kada je ± plus. Saberite -5 i 41.

$$x=\frac{36}{6}$$

Podijelite 36 sa 6.

$$x=6$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-5±41}{6} kada je ± minus. Oduzmite 41 od -5.

$$x=-\frac{46}{6}$$

Svedite razlomak \frac{-46}{6} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=-\frac{23}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=138$$

Podijelite obje strane s 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

Dijelјenje sa 3 poništava množenje sa 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

Podijelite 138 sa 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

Podijelite \frac{5}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{5}{6}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{5}{6} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{5}{6} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

Saberite 46 i \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

Oduzmite \frac{5}{6} s obje strane jednačine.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$