Riješi 3n^2-11n-874=0

$$3 { n }^{ 2 } -11n-874 = 0$$

Riješite za n

$$n = -\frac{46}{3} = -15\frac{1}{3} \approx -15,333333333$$

$$n=19$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 3n^{2}+an+bn-874. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-11 ab=3\left(-874\right)=-2622$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -2622.

$$1,-2622 2,-1311 3,-874 6,-437 19,-138 23,-114 38,-69 46,-57$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-2622=-2621 2-1311=-1309 3-874=-871 6-437=-431 19-138=-119 23-114=-91 38-69=-31 46-57=-11$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -11.

$$a=-57 b=46$$

Ponovo napišite 3n^{2}-11n-874 kao \left(3n^{2}-57n\right)+\left(46n-874\right).

$$\left(3n^{2}-57n\right)+\left(46n-874\right)$$

Isključite 3n u prvoj i 46 drugoj grupi.

$$3n\left(n-19\right)+46\left(n-19\right)$$

Izdvojite obični izraz n-19 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(n-19\right)\left(3n+46\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite n-19=0 i 3n+46=0.

$$n=19 n=-\frac{46}{3}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$3n^{2}-11n-874=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 3 i a, -11 i b, kao i -874 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\left(-874\right)}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadrat od -11.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 3\left(-874\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-12\left(-874\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i -874.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+10488}}{2\times 3}$$

Saberite 121 i 10488.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{10609}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 10609.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±103}{2\times 3}$$

Opozit broja -11 je 11.

$$n=\frac{11±103}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$n=\frac{11±103}{6}$$

Sada riješite jednačinu n=\frac{11±103}{6} kada je ± plus. Saberite 11 i 103.

$$n=\frac{114}{6}$$

Podijelite 114 sa 6.

$$n=19$$

Sada riješite jednačinu n=\frac{11±103}{6} kada je ± minus. Oduzmite 103 od 11.

$$n=-\frac{92}{6}$$

Svedite razlomak \frac{-92}{6} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$n=-\frac{46}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$n=19 n=-\frac{46}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-11n-874=0$$

Dodajte 874 na obje strane jednačine.

$$3n^{2}-11n-874-\left(-874\right)=-\left(-874\right)$$

Oduzimanjem -874 od samog sebe ostaje 0.

$$3n^{2}-11n=-\left(-874\right)$$

Oduzmite -874 od 0.

$$3n^{2}-11n=874$$

Podijelite obje strane s 3.

$$\frac{3n^{2}-11n}{3}=\frac{874}{3}$$

Dijelјenje sa 3 poništava množenje sa 3.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n=\frac{874}{3}$$

Podijelite -\frac{11}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{11}{6}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{11}{6} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{874}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{11}{6} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}=\frac{874}{3}+\frac{121}{36}$$

Saberite \frac{874}{3} i \frac{121}{36} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}=\frac{10609}{36}$$

Faktor n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{10609}{36}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10609}{36}}$$

Pojednostavite.

$$n-\frac{11}{6}=\frac{103}{6} n-\frac{11}{6}=-\frac{103}{6}$$

Dodajte \frac{11}{6} na obje strane jednačine.

$$n=19 n=-\frac{46}{3}$$