Riješi 25x^2-40x+16=0

$$25 x ^ { 2 } - 40 x + 16 = 0$$

Riješite za x

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 25x^{2}+ax+bx+16. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-40 ab=25\times 16=400$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -40.

$$a=-20 b=-20$$

Ponovo napišite 25x^{2}-40x+16 kao \left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right).

$$\left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right)$$

Isključite 5x u prvoj i -4 drugoj grupi.

$$5x\left(5x-4\right)-4\left(5x-4\right)$$

Izdvojite obični izraz 5x-4 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(5x-4\right)\left(5x-4\right)$$

Ponovo napišite kao binomni kvadrat.

$$\left(5x-4\right)^{2}$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 5x-4=0.

$$x=\frac{4}{5}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 25 i a, -40 i b, kao i 16 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Izračunajte kvadrat od -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Pomnožite -4 i 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

Pomnožite -100 i 16.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

Saberite 1600 i -1600.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 0.

$$x=-\frac{-40}{2\times 25}$$

Opozit broja -40 je 40.

$$x=\frac{40}{2\times 25}$$

Pomnožite 2 i 25.

$$x=\frac{40}{50}$$

Svedite razlomak \frac{40}{50} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 10.

$$x=\frac{4}{5}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Oduzmite 16 s obje strane jednačine.

$$25x^{2}-40x+16-16=-16$$

Oduzimanjem 16 od samog sebe ostaje 0.

$$25x^{2}-40x=-16$$

Podijelite obje strane s 25.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=-\frac{16}{25}$$

Dijelјenje sa 25 poništava množenje sa 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=-\frac{16}{25}$$

Svedite razlomak \frac{-40}{25} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{16}{25}$$

Podijelite -\frac{8}{5}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{4}{5}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{4}{5} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{16}{25}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{4}{5} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{-16+16}{25}$$

Saberite -\frac{16}{25} i \frac{16}{25} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=0$$

Faktorirajte x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Uopćeno govoreći, kada je x^{2}+bx+c savršeni kvadrat, on se uvijek može faktorirati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=0$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{4}{5}=0 x-\frac{4}{5}=0$$

Dodajte \frac{4}{5} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{4}{5} x=\frac{4}{5}$$

Jednačina je riješena. Rješenja su ista.

$$x=\frac{4}{5}$$