Riješi 25x^2+30x+9=0

$$25 { x }^{ 2 } +30x+9=0$$

Riješite za x

$$x=-\frac{3}{5}=-0,6$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 25x^{2}+ax+bx+9. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=30 ab=25\times 9=225$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b pozitivno, a a b su oba pozitivna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 225.

$$1,225 3,75 5,45 9,25 15,15$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1+225=226 3+75=78 5+45=50 9+25=34 15+15=30$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 30.

$$a=15 b=15$$

Ponovo napišite 25x^{2}+30x+9 kao \left(25x^{2}+15x\right)+\left(15x+9\right).

$$\left(25x^{2}+15x\right)+\left(15x+9\right)$$

Isključite 5x u prvoj i 3 drugoj grupi.

$$5x\left(5x+3\right)+3\left(5x+3\right)$$

Izdvojite obični izraz 5x+3 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(5x+3\right)\left(5x+3\right)$$

Ponovo napišite kao binomni kvadrat.

$$\left(5x+3\right)^{2}$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 5x+3=0.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$25x^{2}+30x+9=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 25 i a, 30 i b, kao i 9 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Izračunajte kvadrat od 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Pomnožite -4 i 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-100\times 9}}{2\times 25}$$

Pomnožite -100 i 9.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-900}}{2\times 25}$$

Saberite 900 i -900.

$$x=\frac{-30±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 0.

$$x=-\frac{30}{2\times 25}$$

Pomnožite 2 i 25.

$$x=-\frac{30}{50}$$

Svedite razlomak \frac{-30}{50} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 10.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}+30x+9=0$$

Oduzmite 9 s obje strane jednačine.

$$25x^{2}+30x+9-9=-9$$

Oduzimanjem 9 od samog sebe ostaje 0.

$$25x^{2}+30x=-9$$

Podijelite obje strane s 25.

$$\frac{25x^{2}+30x}{25}=-\frac{9}{25}$$

Dijelјenje sa 25 poništava množenje sa 25.

$$x^{2}+\frac{30}{25}x=-\frac{9}{25}$$

Svedite razlomak \frac{30}{25} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{9}{25}$$

Podijelite \frac{6}{5}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{3}{5}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{3}{5} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{9}{25}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{3}{5} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{-9+9}{25}$$

Saberite -\frac{9}{25} i \frac{9}{25} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=0$$

Faktor x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=0$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{3}{5}=0 x+\frac{3}{5}=0$$

Oduzmite \frac{3}{5} s obje strane jednačine.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{3}{5}$$

Jednačina je riješena. Rješenja su ista.

$$x=-\frac{3}{5}$$