Riješi 24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

Riješite za x

$$x=\frac{3}{8}=0,375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2,333333333$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 24x^{2}+ax+bx+21. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 504.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -65.

$$a=-56 b=-9$$

Ponovo napišite 24x^{2}-65x+21 kao \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right).

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

Isključite 8x u prvoj i -3 drugoj grupi.

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

Izdvojite obični izraz 3x-7 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 3x-7=0 i 8x-3=0.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 24 i a, -65 i b, kao i 21 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Izračunajte kvadrat od -65.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Pomnožite -4 i 24.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

Pomnožite -96 i 21.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

Saberite 4225 i -2016.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 2209.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

Opozit broja -65 je 65.

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

Pomnožite 2 i 24.

$$x=\frac{65±47}{48}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{65±47}{48} kada je ± plus. Saberite 65 i 47.

$$x=\frac{112}{48}$$

Svedite razlomak \frac{112}{48} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 16.

$$x=\frac{7}{3}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{65±47}{48} kada je ± minus. Oduzmite 47 od 65.

$$x=\frac{18}{48}$$

Svedite razlomak \frac{18}{48} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 6.

$$x=\frac{3}{8}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Oduzmite 21 s obje strane jednačine.

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

Oduzimanjem 21 od samog sebe ostaje 0.

$$24x^{2}-65x=-21$$

Podijelite obje strane s 24.

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

Dijelјenje sa 24 poništava množenje sa 24.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

Svedite razlomak \frac{-21}{24} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 3.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

Podijelite -\frac{65}{24}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{65}{48}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{65}{48} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{65}{48} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

Saberite -\frac{7}{8} i \frac{4225}{2304} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

Faktor x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

Dodajte \frac{65}{48} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$