Riješi 24k^2+50k+24=0

$$24 { k }^{ 2 } +50k+24 = 0$$

Riješite za k

$$k = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$k=-\frac{3}{4}=-0,75$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Podijelite obje strane s 2.

$$12k^{2}+25k+12=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 12k^{2}+ak+bk+12. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=25 ab=12\times 12=144$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b pozitivno, a a b su oba pozitivna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 25.

$$a=9 b=16$$

Ponovo napišite 12k^{2}+25k+12 kao \left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right).

$$\left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right)$$

Isključite 3k u prvoj i 4 drugoj grupi.

$$3k\left(4k+3\right)+4\left(4k+3\right)$$

Izdvojite obični izraz 4k+3 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(4k+3\right)\left(3k+4\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 4k+3=0 i 3k+4=0.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 24 i a, 50 i b, kao i 24 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Izračunajte kvadrat od 50.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Pomnožite -4 i 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-96\times 24}}{2\times 24}$$

Pomnožite -96 i 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-2304}}{2\times 24}$$

Saberite 2500 i -2304.

$$k=\frac{-50±\sqrt{196}}{2\times 24}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 196.

$$k=\frac{-50±14}{2\times 24}$$

Pomnožite 2 i 24.

$$k=\frac{-50±14}{48}$$

Sada riješite jednačinu k=\frac{-50±14}{48} kada je ± plus. Saberite -50 i 14.

$$k=-\frac{36}{48}$$

Svedite razlomak \frac{-36}{48} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 12.

$$k=-\frac{3}{4}$$

Sada riješite jednačinu k=\frac{-50±14}{48} kada je ± minus. Oduzmite 14 od -50.

$$k=-\frac{64}{48}$$

Svedite razlomak \frac{-64}{48} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 16.

$$k=-\frac{4}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Oduzmite 24 s obje strane jednačine.

$$24k^{2}+50k+24-24=-24$$

Oduzimanjem 24 od samog sebe ostaje 0.

$$24k^{2}+50k=-24$$

Podijelite obje strane s 24.

$$\frac{24k^{2}+50k}{24}=-\frac{24}{24}$$

Dijelјenje sa 24 poništava množenje sa 24.

$$k^{2}+\frac{50}{24}k=-\frac{24}{24}$$

Svedite razlomak \frac{50}{24} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-\frac{24}{24}$$

Podijelite -24 sa 24.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-1$$

Podijelite \frac{25}{12}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{25}{24}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{25}{24} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=-1+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{25}{24} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=-1+\frac{625}{576}$$

Saberite -1 i \frac{625}{576}.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=\frac{49}{576}$$

Faktor k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{49}{576}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{576}}$$

Pojednostavite.

$$k+\frac{25}{24}=\frac{7}{24} k+\frac{25}{24}=-\frac{7}{24}$$

Oduzmite \frac{25}{24} s obje strane jednačine.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$