Riješi 24+5x-x^2=0

$$24 + 5 x - x ^ { 2 } = 0$$

Riješite za x

$$x=-3$$

$$x=8$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Prerasporedite jednačinu da biste je stavili u standardni oblik. Postavite termine redoslijedom od najvišeg do najnižeg stepena.

$$-x^{2}+5x+24=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao -x^{2}+ax+bx+24. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=5 ab=-24=-24$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 5.

$$a=8 b=-3$$

Ponovo napišite -x^{2}+5x+24 kao \left(-x^{2}+8x\right)+\left(-3x+24\right).

$$\left(-x^{2}+8x\right)+\left(-3x+24\right)$$

Isključite -x u prvoj i -3 drugoj grupi.

$$-x\left(x-8\right)-3\left(x-8\right)$$

Izdvojite obični izraz x-8 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-8\right)\left(-x-3\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-8=0 i -x-3=0.

$$x=8 x=-3$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$-x^{2}+5x+24=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite -1 i a, 5 i b, kao i 24 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Izračunajte kvadrat od 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite -4 i -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 4 i 24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\left(-1\right)}$$

Saberite 25 i 96.

$$x=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\left(-1\right)}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 121.

$$x=\frac{-5±11}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 2 i -1.

$$x=\frac{-5±11}{-2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-5±11}{-2} kada je ± plus. Saberite -5 i 11.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Podijelite 6 sa -2.

$$x=-3$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-5±11}{-2} kada je ± minus. Oduzmite 11 od -5.

$$x=-\frac{16}{-2}$$

Podijelite -16 sa -2.

$$x=8$$

Jednačina je riješena.

$$x=-3 x=8$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+5x+24=0$$

Oduzmite 24 s obje strane jednačine.

$$-x^{2}+5x+24-24=-24$$

Oduzimanjem 24 od samog sebe ostaje 0.

$$-x^{2}+5x=-24$$

Podijelite obje strane s -1.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=-\frac{24}{-1}$$

Dijelјenje sa -1 poništava množenje sa -1.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=-\frac{24}{-1}$$

Podijelite 5 sa -1.

$$x^{2}-5x=-\frac{24}{-1}$$

Podijelite -24 sa -1.

$$x^{2}-5x=24$$

Podijelite -5, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{5}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{5}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{5}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

Saberite 24 i \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

Dodajte \frac{5}{2} na obje strane jednačine.

$$x=8 x=-3$$