Riješi 21x^2-16x+3=0

$$21 { x }^{ 2 } -16x+3=0$$

Riješite za x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=\frac{3}{7}\approx 0,428571429$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 21x^{2}+ax+bx+3. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-16 ab=21\times 3=63$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 63.

$$-1,-63 -3,-21 -7,-9$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-63=-64 -3-21=-24 -7-9=-16$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -16.

$$a=-9 b=-7$$

Ponovo napišite 21x^{2}-16x+3 kao \left(21x^{2}-9x\right)+\left(-7x+3\right).

$$\left(21x^{2}-9x\right)+\left(-7x+3\right)$$

Isključite 3x u prvoj i -1 drugoj grupi.

$$3x\left(7x-3\right)-\left(7x-3\right)$$

Izdvojite obični izraz 7x-3 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(7x-3\right)\left(3x-1\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 7x-3=0 i 3x-1=0.

$$x=\frac{3}{7} x=\frac{1}{3}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$21x^{2}-16x+3=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 21 i a, -16 i b, kao i 3 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 21\times 3}}{2\times 21}$$

Izračunajte kvadrat od -16.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 21\times 3}}{2\times 21}$$

Pomnožite -4 i 21.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-84\times 3}}{2\times 21}$$

Pomnožite -84 i 3.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-252}}{2\times 21}$$

Saberite 256 i -252.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{4}}{2\times 21}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 4.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±2}{2\times 21}$$

Opozit broja -16 je 16.

$$x=\frac{16±2}{2\times 21}$$

Pomnožite 2 i 21.

$$x=\frac{16±2}{42}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{16±2}{42} kada je ± plus. Saberite 16 i 2.

$$x=\frac{18}{42}$$

Svedite razlomak \frac{18}{42} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 6.

$$x=\frac{3}{7}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{16±2}{42} kada je ± minus. Oduzmite 2 od 16.

$$x=\frac{14}{42}$$

Svedite razlomak \frac{14}{42} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 14.

$$x=\frac{1}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{3}{7} x=\frac{1}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$21x^{2}-16x+3=0$$

Oduzmite 3 s obje strane jednačine.

$$21x^{2}-16x+3-3=-3$$

Oduzimanjem 3 od samog sebe ostaje 0.

$$21x^{2}-16x=-3$$

Podijelite obje strane s 21.

$$\frac{21x^{2}-16x}{21}=-\frac{3}{21}$$

Dijelјenje sa 21 poništava množenje sa 21.

$$x^{2}-\frac{16}{21}x=-\frac{3}{21}$$

Svedite razlomak \frac{-3}{21} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 3.

$$x^{2}-\frac{16}{21}x=-\frac{1}{7}$$

Podijelite -\frac{16}{21}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{8}{21}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{8}{21} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{16}{21}x+\left(-\frac{8}{21}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(-\frac{8}{21}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{8}{21} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{16}{21}x+\frac{64}{441}=-\frac{1}{7}+\frac{64}{441}$$

Saberite -\frac{1}{7} i \frac{64}{441} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{16}{21}x+\frac{64}{441}=\frac{1}{441}$$

Faktor x^{2}-\frac{16}{21}x+\frac{64}{441}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{21}\right)^{2}=\frac{1}{441}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{21}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{441}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{8}{21}=\frac{1}{21} x-\frac{8}{21}=-\frac{1}{21}$$

Dodajte \frac{8}{21} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{3}{7} x=\frac{1}{3}$$