Riješi 20x^2-28x-1=0

$$20 x ^ { 2 } - 28 x - 1 = 0$$

Riješite za x

$$x = \frac{3 \sqrt{6} + 7}{10} \approx 1,434846923$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}\approx -0,034846923$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 20 i a, -28 i b, kao i -1 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Izračunajte kvadrat od -28.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Pomnožite -4 i 20.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Pomnožite -80 i -1.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+80}}{2\times 20}$$

Saberite 784 i 80.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{864}}{2\times 20}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 864.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Opozit broja -28 je 28.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Pomnožite 2 i 20.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} kada je ± plus. Saberite 28 i 12\sqrt{6}.

$$x=\frac{12\sqrt{6}+28}{40}$$

Podijelite 28+12\sqrt{6} sa 40.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} kada je ± minus. Oduzmite 12\sqrt{6} od 28.

$$x=\frac{28-12\sqrt{6}}{40}$$

Podijelite 28-12\sqrt{6} sa 40.

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Dodajte 1 na obje strane jednačine.

$$20x^{2}-28x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Oduzimanjem -1 od samog sebe ostaje 0.

$$20x^{2}-28x=-\left(-1\right)$$

Oduzmite -1 od 0.

$$20x^{2}-28x=1$$

Podijelite obje strane s 20.

$$\frac{20x^{2}-28x}{20}=\frac{1}{20}$$

Dijelјenje sa 20 poništava množenje sa 20.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{20}\right)x=\frac{1}{20}$$

Svedite razlomak \frac{-28}{20} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 4.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{1}{20}$$

Podijelite -\frac{7}{5}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{7}{10}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{7}{10} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{7}{10} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{1}{20}+\frac{49}{100}$$

Saberite \frac{1}{20} i \frac{49}{100} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{27}{50}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{27}{50}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{50}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{3\sqrt{6}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{3\sqrt{6}}{10}$$

Dodajte \frac{7}{10} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$