Riješi 20x^2-x-1=0

$$20 { x }^{ 2 } -x-1=0$$

Riješite za x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 20x^{2}+ax+bx-1. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -1.

$$a=-5 b=4$$

Ponovo napišite 20x^{2}-x-1 kao \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

Izdvojite 5x iz 20x^{2}-5x.

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Izdvojite obični izraz 4x-1 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 4x-1=0 i 5x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 20 i a, -1 i b, kao i -1 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Pomnožite -4 i 20.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Pomnožite -80 i -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

Saberite 1 i 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

Opozit broja -1 je 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

Pomnožite 2 i 20.

$$x=\frac{1±9}{40}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{1±9}{40} kada je ± plus. Saberite 1 i 9.

$$x=\frac{10}{40}$$

Svedite razlomak \frac{10}{40} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 10.

$$x=\frac{1}{4}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{1±9}{40} kada je ± minus. Oduzmite 9 od 1.

$$x=-\frac{8}{40}$$

Svedite razlomak \frac{-8}{40} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 8.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Dodajte 1 na obje strane jednačine.

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Oduzimanjem -1 od samog sebe ostaje 0.

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Oduzmite -1 od 0.

$$20x^{2}-x=1$$

Podijelite obje strane s 20.

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

Dijelјenje sa 20 poništava množenje sa 20.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

Podijelite -\frac{1}{20}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{1}{40}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{1}{40} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{1}{40} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

Saberite \frac{1}{20} i \frac{1}{1600} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

Dodajte \frac{1}{40} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$