Riješi 2z^2-2z+5=0

$$2 z ^ { 2 } - 2 z + 5 = 0$$

Riješite za z

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i=0,5+1,5i$$

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i=0,5-1,5i$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 2 i a, -2 i b, kao i 5 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadrat od -2.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Pomnožite -4 i 2.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\times 5}}{2\times 2}$$

Pomnožite -8 i 5.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-40}}{2\times 2}$$

Saberite 4 i -40.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-36}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od -36.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±6i}{2\times 2}$$

Opozit broja -2 je 2.

$$z=\frac{2±6i}{2\times 2}$$

Pomnožite 2 i 2.

$$z=\frac{2±6i}{4}$$

Sada riješite jednačinu z=\frac{2±6i}{4} kada je ± plus. Saberite 2 i 6i.

$$z=\frac{2+6i}{4}$$

Podijelite 2+6i sa 4.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$$

Sada riješite jednačinu z=\frac{2±6i}{4} kada je ± minus. Oduzmite 6i od 2.

$$z=\frac{2-6i}{4}$$

Podijelite 2-6i sa 4.

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

Jednačina je riješena.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

Oduzmite 5 s obje strane jednačine.

$$2z^{2}-2z+5-5=-5$$

Oduzimanjem 5 od samog sebe ostaje 0.

$$2z^{2}-2z=-5$$

Podijelite obje strane s 2.

$$\frac{2z^{2}-2z}{2}=-\frac{5}{2}$$

Dijelјenje sa 2 poništava množenje sa 2.

$$z^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)z=-\frac{5}{2}$$

Podijelite -2 sa 2.

$$z^{2}-z=-\frac{5}{2}$$

Podijelite -1, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{1}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{1}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$z^{2}-z+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{1}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{5}{2}+\frac{1}{4}$$

Saberite -\frac{5}{2} i \frac{1}{4} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Faktor z^{2}-z+\frac{1}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{9}{4}}$$

Pojednostavite.

$$z-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}i z-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}i$$

Dodajte \frac{1}{2} na obje strane jednačine.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$