Riješi 2y-3x=-22;2x+3y=32

$$2 y - 3 x = - 22 ; 2 x + 3 y = 32$$

Riješite za y, x

$$x=10$$

$$y=4$$

Koraci pomoću zamjene

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$2y-3x=-22,3y+2x=32$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za y tako što ćete izdvojiti y na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$2y-3x=-22$$

Dodajte 3x na obje strane jednačine.

$$2y=3x-22$$

Podijelite obje strane s 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-22\right)$$

Pomnožite \frac{1}{2} i 3x-22.

$$y=\frac{3}{2}x-11$$

Zamijenite \frac{3x}{2}-11 za y u drugoj jednačini, 3y+2x=32.

$$3\left(\frac{3}{2}x-11\right)+2x=32$$

Pomnožite 3 i \frac{3x}{2}-11.

$$\frac{9}{2}x-33+2x=32$$

Saberite \frac{9x}{2} i 2x.

$$\frac{13}{2}x-33=32$$

Dodajte 33 na obje strane jednačine.

$$\frac{13}{2}x=65$$

Podijelite obje strane jednačine sa \frac{13}{2}, što je isto kao množenje obje strane recipročnom vrijednošću razlomka.

$$x=10$$

Zamijenite 10 za x u y=\frac{3}{2}x-11. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za y.

$$y=\frac{3}{2}\times 10-11$$

Pomnožite \frac{3}{2} i 10.

$$y=15-11$$

Saberite -11 i 15.

$$y=4$$

Sistem je riješen.

$$y=4,x=10$$

Koraci pomoću matrica

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$2y-3x=-22,3y+2x=32$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\left(-22\right)+\frac{3}{13}\times 32\\-\frac{3}{13}\left(-22\right)+\frac{2}{13}\times 32\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice y i x.

$$y=4,x=10$$

Koraci pomoću eliminacije

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$2y-3x=-22,3y+2x=32$$

Da bi 2y i 3y bili jednaki, pomnožite sve termine na svakoj strani prve jednačine sa 3 i sve termine na svakoj strani druge jednačine sa 2.

$$3\times 2y+3\left(-3\right)x=3\left(-22\right),2\times 3y+2\times 2x=2\times 32$$

Pojednostavite.

$$6y-9x=-66,6y+4x=64$$

Oduzmite 6y+4x=64 od 6y-9x=-66 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$6y-6y-9x-4x=-66-64$$

Saberite 6y i -6y. Izrazi 6y i -6y se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$-9x-4x=-66-64$$

Saberite -9x i -4x.

$$-13x=-66-64$$

Saberite -66 i -64.

$$-13x=-130$$

Podijelite obje strane s -13.

$$x=10$$

Zamijenite 10 za x u 3y+2x=32. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za y.

$$3y+2\times 10=32$$

Pomnožite 2 i 10.

$$3y+20=32$$

Oduzmite 20 s obje strane jednačine.

$$3y=12$$

Podijelite obje strane s 3.

$$y=4$$

Sistem je riješen.

$$y=4,x=10$$