Riješi 2x-3y+10=0quadtext{KaHa}5x-y+4=0

$$2 x - 3 y + 10 = 0 \quad \text { KaHa } 5 x - y + 4 = 0$$

Riješite za x, y

$$x=-\frac{2}{13}\approx -0,153846154$$

$$y = \frac{42}{13} = 3\frac{3}{13} \approx 3,230769231$$

Koraci pomoću zamjene

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za x tako što ćete izdvojiti x na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$2x-3y+10=0$$

Oduzmite 10 s obje strane jednačine.

$$2x-3y=-10$$

Dodajte 3y na obje strane jednačine.

$$2x=3y-10$$

Podijelite obje strane s 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-10\right)$$

Pomnožite \frac{1}{2} i 3y-10.

$$x=\frac{3}{2}y-5$$

Zamijenite \frac{3y}{2}-5 za x u drugoj jednačini, 5x-y+4=0.

$$5\left(\frac{3}{2}y-5\right)-y+4=0$$

Pomnožite 5 i \frac{3y}{2}-5.

$$\frac{15}{2}y-25-y+4=0$$

Saberite \frac{15y}{2} i -y.

$$\frac{13}{2}y-25+4=0$$

Saberite -25 i 4.

$$\frac{13}{2}y-21=0$$

Dodajte 21 na obje strane jednačine.

$$\frac{13}{2}y=21$$

Podijelite obje strane jednačine sa \frac{13}{2}, što je isto kao množenje obje strane recipročnom vrijednošću razlomka.

$$y=\frac{42}{13}$$

Zamijenite \frac{42}{13} za y u x=\frac{3}{2}y-5. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{42}{13}-5$$

Pomnožite \frac{3}{2} i \frac{42}{13} tako što ćete pomnožiti brojilac sa brojiocem i imenilac sa imeniocem. Zatim reducirajte razlomak na najniže termine ako je moguće.

$$x=\frac{63}{13}-5$$

Saberite -5 i \frac{63}{13}.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Sistem je riješen.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Koraci pomoću matrica

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-10\right)+\frac{3}{13}\left(-4\right)\\-\frac{5}{13}\left(-10\right)+\frac{2}{13}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\\\frac{42}{13}\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Koraci pomoću eliminacije

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Da bi 2x i 5x bili jednaki, pomnožite sve termine na svakoj strani prve jednačine sa 5 i sve termine na svakoj strani druge jednačine sa 2.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y+5\times 10=0,2\times 5x+2\left(-1\right)y+2\times 4=0$$

Pojednostavite.

$$10x-15y+50=0,10x-2y+8=0$$

Oduzmite 10x-2y+8=0 od 10x-15y+50=0 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$10x-10x-15y+2y+50-8=0$$

Saberite 10x i -10x. Izrazi 10x i -10x se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$-15y+2y+50-8=0$$

Saberite -15y i 2y.

$$-13y+50-8=0$$

Saberite 50 i -8.

$$-13y+42=0$$

Oduzmite 42 s obje strane jednačine.

$$-13y=-42$$

Podijelite obje strane s -13.

$$y=\frac{42}{13}$$

Zamijenite \frac{42}{13} za y u 5x-y+4=0. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$5x-\frac{42}{13}+4=0$$

Saberite -\frac{42}{13} i 4.

$$5x+\frac{10}{13}=0$$

Oduzmite \frac{10}{13} s obje strane jednačine.

$$5x=-\frac{10}{13}$$

Podijelite obje strane s 5.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Sistem je riješen.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$