Riješi 2x^2-x-15=0

$$2 x ^ { 2 } - x - 15 = 0$$

Riješite za x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=3$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 2x^{2}+ax+bx-15. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-1 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -1.

$$a=-6 b=5$$

Ponovo napišite 2x^{2}-x-15 kao \left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right).

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right)$$

Isključite 2x u prvoj i 5 drugoj grupi.

$$2x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Izdvojite obični izraz x-3 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-3=0 i 2x+5=0.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$2x^{2}-x-15=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 2 i a, -1 i b, kao i -15 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -4 i 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -8 i -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+120}}{2\times 2}$$

Saberite 1 i 120.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 121.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±11}{2\times 2}$$

Opozit broja -1 je 1.

$$x=\frac{1±11}{2\times 2}$$

Pomnožite 2 i 2.

$$x=\frac{1±11}{4}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{1±11}{4} kada je ± plus. Saberite 1 i 11.

$$x=\frac{12}{4}$$

Podijelite 12 sa 4.

$$x=3$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{1±11}{4} kada je ± minus. Oduzmite 11 od 1.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Svedite razlomak \frac{-10}{4} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Jednačina je riješena.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-x-15=0$$

Dodajte 15 na obje strane jednačine.

$$2x^{2}-x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Oduzimanjem -15 od samog sebe ostaje 0.

$$2x^{2}-x=-\left(-15\right)$$

Oduzmite -15 od 0.

$$2x^{2}-x=15$$

Podijelite obje strane s 2.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{15}{2}$$

Dijelјenje sa 2 poništava množenje sa 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{15}{2}$$

Podijelite -\frac{1}{2}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{1}{4}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{1}{4} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{1}{4} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{15}{2}+\frac{1}{16}$$

Saberite \frac{15}{2} i \frac{1}{16} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{121}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

Dodajte \frac{1}{4} na obje strane jednačine.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$