Riješi 2x^2-24x+54=0

$$2 x ^ { 2 } - 24 x + 54 = 0$$

Riješite za x

$$x=3$$

$$x=9$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Podijelite obje strane s 2.

$$x^{2}-12x+27=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx+27. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-12 ab=1\times 27=27$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 27.

$$-1,-27 -3,-9$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-27=-28 -3-9=-12$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -12.

$$a=-9 b=-3$$

Ponovo napišite x^{2}-12x+27 kao \left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right)$$

Isključite x u prvoj i -3 drugoj grupi.

$$x\left(x-9\right)-3\left(x-9\right)$$

Izdvojite obični izraz x-9 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-9\right)\left(x-3\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-9=0 i x-3=0.

$$x=9 x=3$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$2x^{2}-24x+54=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 2 i a, -24 i b, kao i 54 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadrat od -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Pomnožite -4 i 2.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-8\times 54}}{2\times 2}$$

Pomnožite -8 i 54.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-432}}{2\times 2}$$

Saberite 576 i -432.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{144}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 144.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±12}{2\times 2}$$

Opozit broja -24 je 24.

$$x=\frac{24±12}{2\times 2}$$

Pomnožite 2 i 2.

$$x=\frac{24±12}{4}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{24±12}{4} kada je ± plus. Saberite 24 i 12.

$$x=\frac{36}{4}$$

Podijelite 36 sa 4.

$$x=9$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{24±12}{4} kada je ± minus. Oduzmite 12 od 24.

$$x=\frac{12}{4}$$

Podijelite 12 sa 4.

$$x=3$$

Jednačina je riješena.

$$x=9 x=3$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-24x+54=0$$

Oduzmite 54 s obje strane jednačine.

$$2x^{2}-24x+54-54=-54$$

Oduzimanjem 54 od samog sebe ostaje 0.

$$2x^{2}-24x=-54$$

Podijelite obje strane s 2.

$$\frac{2x^{2}-24x}{2}=-\frac{54}{2}$$

Dijelјenje sa 2 poništava množenje sa 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{2}\right)x=-\frac{54}{2}$$

Podijelite -24 sa 2.

$$x^{2}-12x=-\frac{54}{2}$$

Podijelite -54 sa 2.

$$x^{2}-12x=-27$$

Podijelite -12, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -6. Zatim dodajte kvadrat od -6 na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-27+\left(-6\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -6.

$$x^{2}-12x+36=-27+36$$

Saberite -27 i 36.

$$x^{2}-12x+36=9$$

Faktor x^{2}-12x+36. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=9$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Pojednostavite.

$$x-6=3 x-6=-3$$

Dodajte 6 na obje strane jednačine.

$$x=9 x=3$$