Riješi 2x^2-2x-12=28

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 12 = 28$$

Riješite za x

$$x=-4$$

$$x=5$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Oduzmite 28 s obje strane.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

Oduzmite 28 od -12 da biste dobili -40.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

Podijelite obje strane s 2.

$$x^{2}-x-20=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx-20. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-1 ab=1\left(-20\right)=-20$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -1.

$$a=-5 b=4$$

Ponovo napišite x^{2}-x-20 kao \left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right)$$

Isključite x u prvoj i 4 drugoj grupi.

$$x\left(x-5\right)+4\left(x-5\right)$$

Izdvojite obični izraz x-5 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-5\right)\left(x+4\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-5=0 i x+4=0.

$$x=5 x=-4$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

Oduzmite 28 s obje strane jednačine.

$$2x^{2}-2x-12-28=28-28$$

Oduzimanjem 28 od samog sebe ostaje 0.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

Oduzmite 28 od -12.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 2 i a, -2 i b, kao i -40 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadrat od -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -4 i 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -8 i -40.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 2}$$

Saberite 4 i 320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 324.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 2}$$

Opozit broja -2 je 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 2}$$

Pomnožite 2 i 2.

$$x=\frac{2±18}{4}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{2±18}{4} kada je ± plus. Saberite 2 i 18.

$$x=\frac{20}{4}$$

Podijelite 20 sa 4.

$$x=5$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{2±18}{4} kada je ± minus. Oduzmite 18 od 2.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Podijelite -16 sa 4.

$$x=-4$$

Jednačina je riješena.

$$x=5 x=-4$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

Dodajte 12 na obje strane jednačine.

$$2x^{2}-2x-12-\left(-12\right)=28-\left(-12\right)$$

Oduzimanjem -12 od samog sebe ostaje 0.

$$2x^{2}-2x=28-\left(-12\right)$$

Oduzmite -12 od 28.

$$2x^{2}-2x=40$$

Podijelite obje strane s 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{40}{2}$$

Dijelјenje sa 2 poništava množenje sa 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{40}{2}$$

Podijelite -2 sa 2.

$$x^{2}-x=\frac{40}{2}$$

Podijelite 40 sa 2.

$$x^{2}-x=20$$

Podijelite -1, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{1}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{1}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=20+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{1}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}$$

Saberite 20 i \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{81}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}$$

Dodajte \frac{1}{2} na obje strane jednačine.

$$x=5 x=-4$$