Riješi 2x^2-2x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Riješite za x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 2 i a, -2 i b, kao i -1 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadrat od -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -4 i 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -8 i -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Saberite 4 i 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Opozit broja -2 je 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Pomnožite 2 i 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} kada je ± plus. Saberite 2 i 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

Podijelite 2+2\sqrt{3} sa 4.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} kada je ± minus. Oduzmite 2\sqrt{3} od 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

Podijelite 2-2\sqrt{3} sa 4.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Dodajte 1 na obje strane jednačine.

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Oduzimanjem -1 od samog sebe ostaje 0.

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Oduzmite -1 od 0.

$$2x^{2}-2x=1$$

Podijelite obje strane s 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

Dijelјenje sa 2 poništava množenje sa 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

Podijelite -2 sa 2.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Podijelite -1, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{1}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{1}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{1}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Saberite \frac{1}{2} i \frac{1}{4} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Dodajte \frac{1}{2} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$