Riješi 2x^2-13x-7=0

$$2 x ^ { 2 } - 13 x - 7 = 0$$

Riješite za x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=7$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 2x^{2}+ax+bx-7. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-13 ab=2\left(-7\right)=-14$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -14.

$$1,-14 2,-7$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-14=-13 2-7=-5$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -13.

$$a=-14 b=1$$

Ponovo napišite 2x^{2}-13x-7 kao \left(2x^{2}-14x\right)+\left(x-7\right).

$$\left(2x^{2}-14x\right)+\left(x-7\right)$$

Izdvojite 2x iz 2x^{2}-14x.

$$2x\left(x-7\right)+x-7$$

Izdvojite obični izraz x-7 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-7\right)\left(2x+1\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-7=0 i 2x+1=0.

$$x=7 x=-\frac{1}{2}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$2x^{2}-13x-7=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 2 i a, -13 i b, kao i -7 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadrat od -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -4 i 2.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -8 i -7.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+56}}{2\times 2}$$

Saberite 169 i 56.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{225}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 225.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±15}{2\times 2}$$

Opozit broja -13 je 13.

$$x=\frac{13±15}{2\times 2}$$

Pomnožite 2 i 2.

$$x=\frac{13±15}{4}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{13±15}{4} kada je ± plus. Saberite 13 i 15.

$$x=\frac{28}{4}$$

Podijelite 28 sa 4.

$$x=7$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{13±15}{4} kada je ± minus. Oduzmite 15 od 13.

$$x=-\frac{2}{4}$$

Svedite razlomak \frac{-2}{4} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Jednačina je riješena.

$$x=7 x=-\frac{1}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-13x-7=0$$

Dodajte 7 na obje strane jednačine.

$$2x^{2}-13x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Oduzimanjem -7 od samog sebe ostaje 0.

$$2x^{2}-13x=-\left(-7\right)$$

Oduzmite -7 od 0.

$$2x^{2}-13x=7$$

Podijelite obje strane s 2.

$$\frac{2x^{2}-13x}{2}=\frac{7}{2}$$

Dijelјenje sa 2 poništava množenje sa 2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=\frac{7}{2}$$

Podijelite -\frac{13}{2}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{13}{4}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{13}{4} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{13}{4} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{7}{2}+\frac{169}{16}$$

Saberite \frac{7}{2} i \frac{169}{16} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{225}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{225}{16}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{16}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{15}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{15}{4}$$

Dodajte \frac{13}{4} na obje strane jednačine.

$$x=7 x=-\frac{1}{2}$$