Riješi 2x^2-11x-63=0

$$2 x ^ { 2 } - 11 x - 63 = 0$$

Riješite za x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=9$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 2x^{2}+ax+bx-63. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-11 ab=2\left(-63\right)=-126$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -11.

$$a=-18 b=7$$

Ponovo napišite 2x^{2}-11x-63 kao \left(2x^{2}-18x\right)+\left(7x-63\right).

$$\left(2x^{2}-18x\right)+\left(7x-63\right)$$

Isključite 2x u prvoj i 7 drugoj grupi.

$$2x\left(x-9\right)+7\left(x-9\right)$$

Izdvojite obični izraz x-9 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-9\right)\left(2x+7\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-9=0 i 2x+7=0.

$$x=9 x=-\frac{7}{2}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$2x^{2}-11x-63=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 2 i a, -11 i b, kao i -63 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-63\right)}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadrat od -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-63\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -4 i 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-63\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -8 i -63.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+504}}{2\times 2}$$

Saberite 121 i 504.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{625}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 625.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±25}{2\times 2}$$

Opozit broja -11 je 11.

$$x=\frac{11±25}{2\times 2}$$

Pomnožite 2 i 2.

$$x=\frac{11±25}{4}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{11±25}{4} kada je ± plus. Saberite 11 i 25.

$$x=\frac{36}{4}$$

Podijelite 36 sa 4.

$$x=9$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{11±25}{4} kada je ± minus. Oduzmite 25 od 11.

$$x=-\frac{14}{4}$$

Svedite razlomak \frac{-14}{4} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Jednačina je riješena.

$$x=9 x=-\frac{7}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x-63=0$$

Dodajte 63 na obje strane jednačine.

$$2x^{2}-11x-63-\left(-63\right)=-\left(-63\right)$$

Oduzimanjem -63 od samog sebe ostaje 0.

$$2x^{2}-11x=-\left(-63\right)$$

Oduzmite -63 od 0.

$$2x^{2}-11x=63$$

Podijelite obje strane s 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{63}{2}$$

Dijelјenje sa 2 poništava množenje sa 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{63}{2}$$

Podijelite -\frac{11}{2}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{11}{4}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{11}{4} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{63}{2}+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{11}{4} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{63}{2}+\frac{121}{16}$$

Saberite \frac{63}{2} i \frac{121}{16} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{625}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{625}{16}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{16}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{25}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{25}{4}$$

Dodajte \frac{11}{4} na obje strane jednačine.

$$x=9 x=-\frac{7}{2}$$