Riješi 2x^2+7x+5=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x + 5 = 0$$

Riješite za x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=-1$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 2x^{2}+ax+bx+5. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=7 ab=2\times 5=10$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b pozitivno, a a b su oba pozitivna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 10.

$$1,10 2,5$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1+10=11 2+5=7$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 7.

$$a=2 b=5$$

Ponovo napišite 2x^{2}+7x+5 kao \left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right).

$$\left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right)$$

Isključite 2x u prvoj i 5 drugoj grupi.

$$2x\left(x+1\right)+5\left(x+1\right)$$

Izdvojite obični izraz x+1 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x+1=0 i 2x+5=0.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 2 i a, 7 i b, kao i 5 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadrat od 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Pomnožite -4 i 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

Pomnožite -8 i 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

Saberite 49 i -40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 9.

$$x=\frac{-7±3}{2\times 2}$$

Pomnožite 2 i 2.

$$x=\frac{-7±3}{4}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-7±3}{4} kada je ± plus. Saberite -7 i 3.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Podijelite -4 sa 4.

$$x=-1$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-7±3}{4} kada je ± minus. Oduzmite 3 od -7.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Svedite razlomak \frac{-10}{4} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Jednačina je riješena.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Oduzmite 5 s obje strane jednačine.

$$2x^{2}+7x+5-5=-5$$

Oduzimanjem 5 od samog sebe ostaje 0.

$$2x^{2}+7x=-5$$

Podijelite obje strane s 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=-\frac{5}{2}$$

Dijelјenje sa 2 poništava množenje sa 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Podijelite \frac{7}{2}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{7}{4}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{7}{4} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{7}{4} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{49}{16}$$

Saberite -\frac{5}{2} i \frac{49}{16} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$$

Oduzmite \frac{7}{4} s obje strane jednačine.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$