Riješi 2x^2+5x+1<0

$$2 x ^ { 2 } + 5 x + 1 < 0$$

Riješite za x

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Da biste riješili nejednačinu, faktorirajte lijevu stranu. Kvadratni polinom se može faktorirati pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pri čemu x_{1} i x_{2} predstavlјaju rješenja kvadratne jednačine ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+5x+1=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite 2 sa a, 5 sa b i 1 sa c u kvadratnoj formuli.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

Izvršite računanje.

$$x=\frac{-5±\sqrt{17}}{4}$$

Riješite jednačinu x=\frac{-5±\sqrt{17}}{4} kad je ± pozitivno i kad je ± negativno.

$$x=\frac{\sqrt{17}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{17}-5}{4}$$

Ponovo napišite nejednačinu koristeći dobivena rješenja.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}\right)<0$$

Da bi proizvod bio negativan, x-\frac{\sqrt{17}-5}{4} i x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4} moraju imati suprotne predznake. Razmotrite slučaj kad je x-\frac{\sqrt{17}-5}{4} pozitivno, a x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4} negativno.

$$x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}>0 x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}<0$$

Ovo je netačno za svaki x.

$$x\in \emptyset$$

Razmotrite slučaj kad je x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4} pozitivno, a x-\frac{\sqrt{17}-5}{4} negativno.

$$x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}>0 x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}<0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti je x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right).

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)$$

Konačno rješenje je unija dobivenih rješenja.

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)$$