Riješi 2x^2+3x-90=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 90 = 0$$

Riješite za x

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

$$x=6$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 2x^{2}+ax+bx-90. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=3 ab=2\left(-90\right)=-180$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 3.

$$a=-12 b=15$$

Ponovo napišite 2x^{2}+3x-90 kao \left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right).

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right)$$

Isključite 2x u prvoj i 15 drugoj grupi.

$$2x\left(x-6\right)+15\left(x-6\right)$$

Izdvojite obični izraz x-6 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-6\right)\left(2x+15\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-6=0 i 2x+15=0.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 2 i a, 3 i b, kao i -90 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadrat od 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -4 i 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -8 i -90.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2\times 2}$$

Saberite 9 i 720.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 729.

$$x=\frac{-3±27}{2\times 2}$$

Pomnožite 2 i 2.

$$x=\frac{-3±27}{4}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-3±27}{4} kada je ± plus. Saberite -3 i 27.

$$x=\frac{24}{4}$$

Podijelite 24 sa 4.

$$x=6$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-3±27}{4} kada je ± minus. Oduzmite 27 od -3.

$$x=-\frac{30}{4}$$

Svedite razlomak \frac{-30}{4} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Jednačina je riješena.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Dodajte 90 na obje strane jednačine.

$$2x^{2}+3x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

Oduzimanjem -90 od samog sebe ostaje 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-90\right)$$

Oduzmite -90 od 0.

$$2x^{2}+3x=90$$

Podijelite obje strane s 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{90}{2}$$

Dijelјenje sa 2 poništava množenje sa 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{90}{2}$$

Podijelite 90 sa 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=45$$

Podijelite \frac{3}{2}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{3}{4}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{3}{4} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=45+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{3}{4} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=45+\frac{9}{16}$$

Saberite 45 i \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{729}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{729}{16}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{16}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{27}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{27}{4}$$

Oduzmite \frac{3}{4} s obje strane jednačine.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$