Riješi 2x^2+2x+1=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Riješite za x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i=-0,5+0,5i$$

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i=-0,5-0,5i$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 2 i a, 2 i b, kao i 1 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadrat od 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2}}{2\times 2}$$

Pomnožite -4 i 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8}}{2\times 2}$$

Saberite 4 i -8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-4}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od -4.

$$x=\frac{-2±2i}{2\times 2}$$

Pomnožite 2 i 2.

$$x=\frac{-2±2i}{4}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-2±2i}{4} kada je ± plus. Saberite -2 i 2i.

$$x=\frac{-2+2i}{4}$$

Podijelite -2+2i sa 4.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-2±2i}{4} kada je ± minus. Oduzmite 2i od -2.

$$x=\frac{-2-2i}{4}$$

Podijelite -2-2i sa 4.

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Jednačina je riješena.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Oduzmite 1 s obje strane jednačine.

$$2x^{2}+2x+1-1=-1$$

Oduzimanjem 1 od samog sebe ostaje 0.

$$2x^{2}+2x=-1$$

Podijelite obje strane s 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{1}{2}$$

Dijelјenje sa 2 poništava množenje sa 2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{1}{2}$$

Podijelite 2 sa 2.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{2}$$

Podijelite 1, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{1}{2}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{1}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{1}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Saberite -\frac{1}{2} i \frac{1}{4} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}i x+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}i$$

Oduzmite \frac{1}{2} s obje strane jednačine.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$