Riješi 2x+y=1text{and}x-y=-4

$$2 x + y = 1 \text { and } x - y = - 4$$

Riješite za x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Koraci pomoću zamjene

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za x tako što ćete izdvojiti x na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$2x+y=1$$

Oduzmite y s obje strane jednačine.

$$2x=-y+1$$

Podijelite obje strane s 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+1\right)$$

Pomnožite \frac{1}{2} i -y+1.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Zamijenite \frac{-y+1}{2} za x u drugoj jednačini, x-y=-4.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-y=-4$$

Saberite -\frac{y}{2} i -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=-4$$

Oduzmite \frac{1}{2} s obje strane jednačine.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{9}{2}$$

Podijelite obje strane jednačine sa -\frac{3}{2}, što je isto kao množenje obje strane recipročnom vrijednošću razlomka.

$$y=3$$

Zamijenite 3 za y u x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}$$

Pomnožite -\frac{1}{2} i 3.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Saberite \frac{1}{2} i -\frac{3}{2} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x=-1$$

Sistem je riješen.

$$x=-1,y=3$$

Koraci pomoću matrica

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(-4\right)\\\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=-1,y=3$$

Koraci pomoću eliminacije

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Da bi 2x i x bili jednaki, pomnožite sve termine na svakoj strani prve jednačine sa 1 i sve termine na svakoj strani druge jednačine sa 2.

$$2x+y=1,2x+2\left(-1\right)y=2\left(-4\right)$$

Pojednostavite.

$$2x+y=1,2x-2y=-8$$

Oduzmite 2x-2y=-8 od 2x+y=1 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$2x-2x+y+2y=1+8$$

Saberite 2x i -2x. Izrazi 2x i -2x se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$y+2y=1+8$$

Saberite y i 2y.

$$3y=1+8$$

Saberite 1 i 8.

$$3y=9$$

Podijelite obje strane s 3.

$$y=3$$

Zamijenite 3 za y u x-y=-4. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x-3=-4$$

Dodajte 3 na obje strane jednačine.

$$x=-1$$

Sistem je riješen.

$$x=-1,y=3$$