Riješi 2x+3y=6quadtext{and}quad6x-5y=4

$$2 x + 3 y = 6 \quad \text { and } \quad 6 x - 5 y = 4$$

Riješite za x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$y=1$$

Koraci pomoću zamjene

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za x tako što ćete izdvojiti x na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$2x+3y=6$$

Oduzmite 3y s obje strane jednačine.

$$2x=-3y+6$$

Podijelite obje strane s 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

Pomnožite \frac{1}{2} i -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Zamijenite -\frac{3y}{2}+3 za x u drugoj jednačini, 6x-5y=4.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+3\right)-5y=4$$

Pomnožite 6 i -\frac{3y}{2}+3.

$$-9y+18-5y=4$$

Saberite -9y i -5y.

$$-14y+18=4$$

Oduzmite 18 s obje strane jednačine.

$$-14y=-14$$

Podijelite obje strane s -14.

$$y=1$$

Zamijenite 1 za y u x=-\frac{3}{2}y+3. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=-\frac{3}{2}+3$$

Saberite 3 i -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Sistem je riješen.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Koraci pomoću matrica

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-5\right)-3\times 6}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}&\frac{3}{28}\\\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}\times 6+\frac{3}{28}\times 4\\\frac{3}{14}\times 6-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Koraci pomoću eliminacije

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Da bi 2x i 6x bili jednaki, pomnožite sve termine na svakoj strani prve jednačine sa 6 i sve termine na svakoj strani druge jednačine sa 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 6,2\times 6x+2\left(-5\right)y=2\times 4$$

Pojednostavite.

$$12x+18y=36,12x-10y=8$$

Oduzmite 12x-10y=8 od 12x+18y=36 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$12x-12x+18y+10y=36-8$$

Saberite 12x i -12x. Izrazi 12x i -12x se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$18y+10y=36-8$$

Saberite 18y i 10y.

$$28y=36-8$$

Saberite 36 i -8.

$$28y=28$$

Podijelite obje strane s 28.

$$y=1$$

Zamijenite 1 za y u 6x-5y=4. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$6x-5=4$$

Dodajte 5 na obje strane jednačine.

$$6x=9$$

Podijelite obje strane s 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Sistem je riješen.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$