Riješi 2t^2-3t-9=0

$$2 t ^ { 2 } - 3 t - 9 = 0$$

Riješite za t

$$t = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$t=3$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 2t^{2}+at+bt-9. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-3 ab=2\left(-9\right)=-18$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -3.

$$a=-6 b=3$$

Ponovo napišite 2t^{2}-3t-9 kao \left(2t^{2}-6t\right)+\left(3t-9\right).

$$\left(2t^{2}-6t\right)+\left(3t-9\right)$$

Isključite 2t u prvoj i 3 drugoj grupi.

$$2t\left(t-3\right)+3\left(t-3\right)$$

Izdvojite obični izraz t-3 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(t-3\right)\left(2t+3\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite t-3=0 i 2t+3=0.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$2t^{2}-3t-9=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 2 i a, -3 i b, kao i -9 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadrat od -3.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -4 i 2.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -8 i -9.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+72}}{2\times 2}$$

Saberite 9 i 72.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 81.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±9}{2\times 2}$$

Opozit broja -3 je 3.

$$t=\frac{3±9}{2\times 2}$$

Pomnožite 2 i 2.

$$t=\frac{3±9}{4}$$

Sada riješite jednačinu t=\frac{3±9}{4} kada je ± plus. Saberite 3 i 9.

$$t=\frac{12}{4}$$

Podijelite 12 sa 4.

$$t=3$$

Sada riješite jednačinu t=\frac{3±9}{4} kada je ± minus. Oduzmite 9 od 3.

$$t=-\frac{6}{4}$$

Svedite razlomak \frac{-6}{4} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$t=-\frac{3}{2}$$

Jednačina je riješena.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$2t^{2}-3t-9=0$$

Dodajte 9 na obje strane jednačine.

$$2t^{2}-3t-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Oduzimanjem -9 od samog sebe ostaje 0.

$$2t^{2}-3t=-\left(-9\right)$$

Oduzmite -9 od 0.

$$2t^{2}-3t=9$$

Podijelite obje strane s 2.

$$\frac{2t^{2}-3t}{2}=\frac{9}{2}$$

Dijelјenje sa 2 poništava množenje sa 2.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t=\frac{9}{2}$$

Podijelite -\frac{3}{2}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{3}{4}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{3}{4} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{3}{4} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}=\frac{9}{2}+\frac{9}{16}$$

Saberite \frac{9}{2} i \frac{9}{16} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}=\frac{81}{16}$$

Faktor t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Pojednostavite.

$$t-\frac{3}{4}=\frac{9}{4} t-\frac{3}{4}=-\frac{9}{4}$$

Dodajte \frac{3}{4} na obje strane jednačine.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$