Riješi 2k^2+9k=-7

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

Riješite za k

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$k=-1$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Dodajte 7 na obje strane.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 2k^{2}+ak+bk+7. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b pozitivno, a a b su oba pozitivna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 14.

$$1,14 2,7$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1+14=15 2+7=9$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 9.

$$a=2 b=7$$

Ponovo napišite 2k^{2}+9k+7 kao \left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right).

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

Isključite 2k u prvoj i 7 drugoj grupi.

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

Izdvojite obični izraz k+1 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite k+1=0 i 2k+7=0.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Dodajte 7 na obje strane jednačine.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

Oduzimanjem -7 od samog sebe ostaje 0.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

Oduzmite -7 od 0.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 2 i a, 9 i b, kao i 7 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadrat od 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Pomnožite -4 i 2.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

Pomnožite -8 i 7.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

Saberite 81 i -56.

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 25.

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

Pomnožite 2 i 2.

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

Sada riješite jednačinu k=\frac{-9±5}{4} kada je ± plus. Saberite -9 i 5.

$$k=-\frac{4}{4}$$

Podijelite -4 sa 4.

$$k=-1$$

Sada riješite jednačinu k=\frac{-9±5}{4} kada je ± minus. Oduzmite 5 od -9.

$$k=-\frac{14}{4}$$

Svedite razlomak \frac{-14}{4} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$k=-\frac{7}{2}$$

Jednačina je riješena.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Podijelite obje strane s 2.

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

Dijelјenje sa 2 poništava množenje sa 2.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

Podijelite \frac{9}{2}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{9}{4}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{9}{4} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{9}{4} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

Saberite -\frac{7}{2} i \frac{81}{16} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

Faktor k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Pojednostavite.

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

Oduzmite \frac{9}{4} s obje strane jednačine.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$