Riješi 2x^2-82x+360=0

$$2 { x }^{ 2 } -82x+360 = 0$$

Riješite za x

$$x=5$$

$$x=36$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Podijelite obje strane s 2.

$$x^{2}-41x+180=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx+180. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-41 ab=1\times 180=180$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 180.

$$-1,-180 -2,-90 -3,-60 -4,-45 -5,-36 -6,-30 -9,-20 -10,-18 -12,-15$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-180=-181 -2-90=-92 -3-60=-63 -4-45=-49 -5-36=-41 -6-30=-36 -9-20=-29 -10-18=-28 -12-15=-27$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -41.

$$a=-36 b=-5$$

Ponovo napišite x^{2}-41x+180 kao \left(x^{2}-36x\right)+\left(-5x+180\right).

$$\left(x^{2}-36x\right)+\left(-5x+180\right)$$

Isključite x u prvoj i -5 drugoj grupi.

$$x\left(x-36\right)-5\left(x-36\right)$$

Izdvojite obični izraz x-36 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-36\right)\left(x-5\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-36=0 i x-5=0.

$$x=36 x=5$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$2x^{2}-82x+360=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 2 i a, -82 i b, kao i 360 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{\left(-82\right)^{2}-4\times 2\times 360}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadrat od -82.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{6724-4\times 2\times 360}}{2\times 2}$$

Pomnožite -4 i 2.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{6724-8\times 360}}{2\times 2}$$

Pomnožite -8 i 360.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{6724-2880}}{2\times 2}$$

Saberite 6724 i -2880.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{3844}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 3844.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±62}{2\times 2}$$

Opozit broja -82 je 82.

$$x=\frac{82±62}{2\times 2}$$

Pomnožite 2 i 2.

$$x=\frac{82±62}{4}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{82±62}{4} kada je ± plus. Saberite 82 i 62.

$$x=\frac{144}{4}$$

Podijelite 144 sa 4.

$$x=36$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{82±62}{4} kada je ± minus. Oduzmite 62 od 82.

$$x=\frac{20}{4}$$

Podijelite 20 sa 4.

$$x=5$$

Jednačina je riješena.

$$x=36 x=5$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-82x+360=0$$

Oduzmite 360 s obje strane jednačine.

$$2x^{2}-82x+360-360=-360$$

Oduzimanjem 360 od samog sebe ostaje 0.

$$2x^{2}-82x=-360$$

Podijelite obje strane s 2.

$$\frac{2x^{2}-82x}{2}=-\frac{360}{2}$$

Dijelјenje sa 2 poništava množenje sa 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{82}{2}\right)x=-\frac{360}{2}$$

Podijelite -82 sa 2.

$$x^{2}-41x=-\frac{360}{2}$$

Podijelite -360 sa 2.

$$x^{2}-41x=-180$$

Podijelite -41, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{41}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{41}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-41x+\left(-\frac{41}{2}\right)^{2}=-180+\left(-\frac{41}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{41}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-41x+\frac{1681}{4}=-180+\frac{1681}{4}$$

Saberite -180 i \frac{1681}{4}.

$$x^{2}-41x+\frac{1681}{4}=\frac{961}{4}$$

Faktor x^{2}-41x+\frac{1681}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{41}{2}\right)^{2}=\frac{961}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{41}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{41}{2}=\frac{31}{2} x-\frac{41}{2}=-\frac{31}{2}$$

Dodajte \frac{41}{2} na obje strane jednačine.

$$x=36 x=5$$