Riješi 2x^2-14x-54=0

$$2 { x }^{ 2 } -14x-54=0$$

Riješite za x

$$x = \frac{\sqrt{157} + 7}{2} \approx 9,764982043$$

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}\approx -2,764982043$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 2 i a, -14 i b, kao i -54 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadrat od -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -4 i 2.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -8 i -54.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+432}}{2\times 2}$$

Saberite 196 i 432.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{628}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 628.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

Opozit broja -14 je 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

Pomnožite 2 i 2.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4} kada je ± plus. Saberite 14 i 2\sqrt{157}.

$$x=\frac{2\sqrt{157}+14}{4}$$

Podijelite 14+2\sqrt{157} sa 4.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4} kada je ± minus. Oduzmite 2\sqrt{157} od 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{157}}{4}$$

Podijelite 14-2\sqrt{157} sa 4.

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

Dodajte 54 na obje strane jednačine.

$$2x^{2}-14x-54-\left(-54\right)=-\left(-54\right)$$

Oduzimanjem -54 od samog sebe ostaje 0.

$$2x^{2}-14x=-\left(-54\right)$$

Oduzmite -54 od 0.

$$2x^{2}-14x=54$$

Podijelite obje strane s 2.

$$\frac{2x^{2}-14x}{2}=\frac{54}{2}$$

Dijelјenje sa 2 poništava množenje sa 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)x=\frac{54}{2}$$

Podijelite -14 sa 2.

$$x^{2}-7x=\frac{54}{2}$$

Podijelite 54 sa 2.

$$x^{2}-7x=27$$

Podijelite -7, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{7}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{7}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=27+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{7}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=27+\frac{49}{4}$$

Saberite 27 i \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{157}{4}$$

Faktor x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{157}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{157}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{157}}{2}$$

Dodajte \frac{7}{2} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$