Riješi 2x^2-13x+21=0

$$2 { x }^{ 2 } -13x+21 = 0$$

Riješite za x

$$x=3$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 2x^{2}+ax+bx+21. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-13 ab=2\times 21=42$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -13.

$$a=-7 b=-6$$

Ponovo napišite 2x^{2}-13x+21 kao \left(2x^{2}-7x\right)+\left(-6x+21\right).

$$\left(2x^{2}-7x\right)+\left(-6x+21\right)$$

Isključite x u prvoj i -3 drugoj grupi.

$$x\left(2x-7\right)-3\left(2x-7\right)$$

Izdvojite obični izraz 2x-7 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(2x-7\right)\left(x-3\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 2x-7=0 i x-3=0.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$2x^{2}-13x+21=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 2 i a, -13 i b, kao i 21 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadrat od -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Pomnožite -4 i 2.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-8\times 21}}{2\times 2}$$

Pomnožite -8 i 21.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2\times 2}$$

Saberite 169 i -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2\times 2}$$

Opozit broja -13 je 13.

$$x=\frac{13±1}{2\times 2}$$

Pomnožite 2 i 2.

$$x=\frac{13±1}{4}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{13±1}{4} kada je ± plus. Saberite 13 i 1.

$$x=\frac{14}{4}$$

Svedite razlomak \frac{14}{4} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=\frac{7}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{13±1}{4} kada je ± minus. Oduzmite 1 od 13.

$$x=\frac{12}{4}$$

Podijelite 12 sa 4.

$$x=3$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-13x+21=0$$

Oduzmite 21 s obje strane jednačine.

$$2x^{2}-13x+21-21=-21$$

Oduzimanjem 21 od samog sebe ostaje 0.

$$2x^{2}-13x=-21$$

Podijelite obje strane s 2.

$$\frac{2x^{2}-13x}{2}=-\frac{21}{2}$$

Dijelјenje sa 2 poništava množenje sa 2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{21}{2}$$

Podijelite -\frac{13}{2}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{13}{4}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{13}{4} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=-\frac{21}{2}+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{13}{4} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=-\frac{21}{2}+\frac{169}{16}$$

Saberite -\frac{21}{2} i \frac{169}{16} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{1}{16}$$

Faktorirajte x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. Uopćeno govoreći, kada je x^{2}+bx+c savršeni kvadrat, on se uvijek može faktorirati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{1}{4}$$

Dodajte \frac{13}{4} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$