Riješi 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

Riješite za x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=8$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 2x^{2}+ax+bx-40. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -11.

$$a=-16 b=5$$

Ponovo napišite 2x^{2}-11x-40 kao \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

Isključite 2x u prvoj i 5 drugoj grupi.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

Izdvojite obični izraz x-8 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-8=0 i 2x+5=0.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 2 i a, -11 i b, kao i -40 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadrat od -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -4 i 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -8 i -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

Saberite 121 i 320.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 441.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

Opozit broja -11 je 11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

Pomnožite 2 i 2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{11±21}{4} kada je ± plus. Saberite 11 i 21.

$$x=\frac{32}{4}$$

Podijelite 32 sa 4.

$$x=8$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{11±21}{4} kada je ± minus. Oduzmite 21 od 11.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Svedite razlomak \frac{-10}{4} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Jednačina je riješena.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Dodajte 40 na obje strane jednačine.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Oduzimanjem -40 od samog sebe ostaje 0.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

Oduzmite -40 od 0.

$$2x^{2}-11x=40$$

Podijelite obje strane s 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

Dijelјenje sa 2 poništava množenje sa 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

Podijelite 40 sa 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

Podijelite -\frac{11}{2}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{11}{4}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{11}{4} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{11}{4} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

Saberite 20 i \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

Dodajte \frac{11}{4} na obje strane jednačine.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$