Riješi 2x^2+5x-7=0

$$2 { x }^{ 2 } +5x-7=0$$

Riješite za x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=1$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 2x^{2}+ax+bx-7. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=5 ab=2\left(-7\right)=-14$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -14.

$$-1,14 -2,7$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+14=13 -2+7=5$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 5.

$$a=-2 b=7$$

Ponovo napišite 2x^{2}+5x-7 kao \left(2x^{2}-2x\right)+\left(7x-7\right).

$$\left(2x^{2}-2x\right)+\left(7x-7\right)$$

Isključite 2x u prvoj i 7 drugoj grupi.

$$2x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)$$

Izdvojite obični izraz x-1 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-1=0 i 2x+7=0.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$2x^{2}+5x-7=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 2 i a, 5 i b, kao i -7 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadrat od 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -4 i 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -8 i -7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+56}}{2\times 2}$$

Saberite 25 i 56.

$$x=\frac{-5±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 81.

$$x=\frac{-5±9}{2\times 2}$$

Pomnožite 2 i 2.

$$x=\frac{-5±9}{4}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-5±9}{4} kada je ± plus. Saberite -5 i 9.

$$x=\frac{4}{4}$$

Podijelite 4 sa 4.

$$x=1$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-5±9}{4} kada je ± minus. Oduzmite 9 od -5.

$$x=-\frac{14}{4}$$

Svedite razlomak \frac{-14}{4} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Jednačina je riješena.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+5x-7=0$$

Dodajte 7 na obje strane jednačine.

$$2x^{2}+5x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Oduzimanjem -7 od samog sebe ostaje 0.

$$2x^{2}+5x=-\left(-7\right)$$

Oduzmite -7 od 0.

$$2x^{2}+5x=7$$

Podijelite obje strane s 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{7}{2}$$

Dijelјenje sa 2 poništava množenje sa 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{7}{2}$$

Podijelite \frac{5}{2}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{5}{4}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{5}{4} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{5}{4} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{7}{2}+\frac{25}{16}$$

Saberite \frac{7}{2} i \frac{25}{16} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{81}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{9}{4}$$

Oduzmite \frac{5}{4} s obje strane jednačine.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$