Riješi 18x^2-39x+20=0

$$18 x ^ { 2 } - 39 x + 20 = 0$$

Riješite za x

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 18x^{2}+ax+bx+20. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-39 ab=18\times 20=360$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 360.

$$-1,-360 -2,-180 -3,-120 -4,-90 -5,-72 -6,-60 -8,-45 -9,-40 -10,-36 -12,-30 -15,-24 -18,-20$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-360=-361 -2-180=-182 -3-120=-123 -4-90=-94 -5-72=-77 -6-60=-66 -8-45=-53 -9-40=-49 -10-36=-46 -12-30=-42 -15-24=-39 -18-20=-38$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -39.

$$a=-24 b=-15$$

Ponovo napišite 18x^{2}-39x+20 kao \left(18x^{2}-24x\right)+\left(-15x+20\right).

$$\left(18x^{2}-24x\right)+\left(-15x+20\right)$$

Isključite 6x u prvoj i -5 drugoj grupi.

$$6x\left(3x-4\right)-5\left(3x-4\right)$$

Izdvojite obični izraz 3x-4 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(3x-4\right)\left(6x-5\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 3x-4=0 i 6x-5=0.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{5}{6}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$18x^{2}-39x+20=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 18 i a, -39 i b, kao i 20 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±\sqrt{\left(-39\right)^{2}-4\times 18\times 20}}{2\times 18}$$

Izračunajte kvadrat od -39.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±\sqrt{1521-4\times 18\times 20}}{2\times 18}$$

Pomnožite -4 i 18.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±\sqrt{1521-72\times 20}}{2\times 18}$$

Pomnožite -72 i 20.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±\sqrt{1521-1440}}{2\times 18}$$

Saberite 1521 i -1440.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±\sqrt{81}}{2\times 18}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 81.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±9}{2\times 18}$$

Opozit broja -39 je 39.

$$x=\frac{39±9}{2\times 18}$$

Pomnožite 2 i 18.

$$x=\frac{39±9}{36}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{39±9}{36} kada je ± plus. Saberite 39 i 9.

$$x=\frac{48}{36}$$

Svedite razlomak \frac{48}{36} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 12.

$$x=\frac{4}{3}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{39±9}{36} kada je ± minus. Oduzmite 9 od 39.

$$x=\frac{30}{36}$$

Svedite razlomak \frac{30}{36} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 6.

$$x=\frac{5}{6}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{5}{6}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-39x+20=0$$

Oduzmite 20 s obje strane jednačine.

$$18x^{2}-39x+20-20=-20$$

Oduzimanjem 20 od samog sebe ostaje 0.

$$18x^{2}-39x=-20$$

Podijelite obje strane s 18.

$$\frac{18x^{2}-39x}{18}=-\frac{20}{18}$$

Dijelјenje sa 18 poništava množenje sa 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{39}{18}\right)x=-\frac{20}{18}$$

Svedite razlomak \frac{-39}{18} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 3.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{20}{18}$$

Svedite razlomak \frac{-20}{18} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{10}{9}$$

Podijelite -\frac{13}{6}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{13}{12}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{13}{12} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{9}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{13}{12} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=-\frac{10}{9}+\frac{169}{144}$$

Saberite -\frac{10}{9} i \frac{169}{144} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{1}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{1}{4} x-\frac{13}{12}=-\frac{1}{4}$$

Dodajte \frac{13}{12} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{5}{6}$$